Номер 195, страница 126 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

195. Сумма внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника и внутреннего угла при основании равна $216^\circ$.

Найдите углы треугольника.

Пусть в равнобедренном треугольнике угол при вершине равен $\beta$, а углы при основании равны $\alpha$. Согласно свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны между собой.

Сумма внутренних углов любого треугольника составляет $180^\circ$, поэтому для данного треугольника можно записать соотношение:
$ \alpha + \alpha + \beta = 180^\circ $
$ 2\alpha + \beta = 180^\circ $

Внешний угол треугольника при некоторой вершине равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Следовательно, внешний угол при вершине нашего равнобедренного треугольника равен сумме двух углов при основании:
$ \text{Внешний угол при вершине} = \alpha + \alpha = 2\alpha $

Согласно условию задачи, сумма внешнего угла при вершине и внутреннего угла при основании равна $216^\circ$. Запишем это в виде уравнения:
$ (2\alpha) + \alpha = 216^\circ $

Теперь решим полученное уравнение для нахождения величины угла $\alpha$:
$ 3\alpha = 216^\circ $
$ \alpha = \frac{216^\circ}{3} $
$ \alpha = 72^\circ $

Таким образом, каждый из двух углов при основании треугольника равен $72^\circ$.

Зная углы при основании, мы можем найти угол при вершине $\beta$, используя теорему о сумме углов треугольника:
$ 2\alpha + \beta = 180^\circ $
$ 2 \cdot 72^\circ + \beta = 180^\circ $
$ 144^\circ + \beta = 180^\circ $
$ \beta = 180^\circ - 144^\circ $
$ \beta = 36^\circ $

Итак, мы нашли все углы треугольника: два угла при основании по $72^\circ$ и угол при вершине $36^\circ$.

Ответ: $36^\circ$, $72^\circ$, $72^\circ$.