Номер 198, страница 127 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

198. В окружности с центром O проведены диаметр AB и хорда AC. Докажите, что $\angle CAB = \frac{1}{2}\angle COB$.

Рассмотрим треугольник $AOC$. Так как $O$ — центр окружности, а точки $A$ и $C$ лежат на ней, то отрезки $OA$ и $OC$ являются радиусами этой окружности. Следовательно, $OA = OC$.

Поскольку две стороны треугольника $AOC$ равны, этот треугольник является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $\angle OAC = \angle OCA$. Угол $\angle CAB$, упомянутый в условии, — это тот же самый угол, что и $\angle OAC$.

Угол $\angle COB$ является внешним углом для треугольника $AOC$ при вершине $O$, так как он смежен с внутренним углом $\angle AOC$, а сторона $AB$ проходит через центр $O$ и является диаметром (прямой линией).

По свойству внешнего угла треугольника, его величина равна сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним. Таким образом, мы можем записать:

$\angle COB = \angle OAC + \angle OCA$

Так как $\angle OAC = \angle OCA$ и $\angle OAC = \angle CAB$, мы можем подставить эти равенства в предыдущую формулу:

$\angle COB = \angle CAB + \angle CAB = 2 \cdot \angle CAB$

Из полученного равенства $\angle COB = 2 \cdot \angle CAB$ выразим $\angle CAB$:

$\angle CAB = \frac{1}{2}\angle COB$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle CAB = \frac{1}{2}\angle COB$ доказано.