Номер 196, страница 126 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

196. В треугольнике ABC $∠A = 40^\circ$, $∠C = 60^\circ$, $AK = AB$, $CM = CB$ (рис. 242). Найдите величину наибольшего угла треугольника $KBM$.

Рис. 242

1. Найдем величину угла $\angle ABC$ в треугольнике $ABC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.
$\angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle BCA = 180^\circ - 40^\circ - 60^\circ = 80^\circ$.

2. Рассмотрим треугольник $ABK$. По условию $AK = AB$, значит, треугольник $ABK$ является равнобедренным с основанием $BK$. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, то есть $\angle AKB = \angle ABK$.
Угол $\angle KAB$ является смежным с углом $\angle BAC$, поэтому:
$\angle KAB = 180^\circ - \angle BAC = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.
Сумма углов в треугольнике $ABK$ равна $180^\circ$:
$\angle AKB + \angle ABK + \angle KAB = 180^\circ$
$2 \cdot \angle AKB + 140^\circ = 180^\circ$
$2 \cdot \angle AKB = 40^\circ$
$\angle AKB = 20^\circ$.
Следовательно, $\angle ABK = 20^\circ$.

3. Рассмотрим треугольник $CBM$. По условию $CM = CB$, значит, треугольник $CBM$ является равнобедренным с основанием $BM$. Углы при основании равны, то есть $\angle CMB = \angle CBM$.
Угол $\angle BCM$ является смежным с углом $\angle BCA$, поэтому:
$\angle BCM = 180^\circ - \angle BCA = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
Сумма углов в треугольнике $CBM$ равна $180^\circ$:
$\angle CMB + \angle CBM + \angle BCM = 180^\circ$
$2 \cdot \angle CMB + 120^\circ = 180^\circ$
$2 \cdot \angle CMB = 60^\circ$
$\angle CMB = 30^\circ$.
Следовательно, $\angle CBM = 30^\circ$.

4. Теперь найдем углы треугольника $KBM$.
$\angle BKM = \angle AKB = 20^\circ$.
$\angle BMK = \angle CMB = 30^\circ$.
Угол $\angle KBM$ складывается из трех углов: $\angle ABK$, $\angle ABC$ и $\angle CBM$.
$\angle KBM = \angle ABK + \angle ABC + \angle CBM = 20^\circ + 80^\circ + 30^\circ = 130^\circ$.

5. Углы треугольника $KBM$ равны $20^\circ$, $30^\circ$ и $130^\circ$. Наибольшим из них является угол $\angle KBM$.

Ответ: $130^\circ$.