Номер 257, страница 164 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

257. Изобразите в тетради произвольный треугольник $ABC$ и прямую $l$, не пересекающую треугольник. Постройте треугольник $MNK$, равный треугольнику $ABC$, у которого сторона $MK$ лежит на прямой $l$ и $NK = BC$, а $MN = AB$.

Для построения треугольника $MNK$, равного данному треугольнику $ABC$, с помощью циркуля и линейки, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Изобразим произвольный треугольник $ABC$ и прямую $l$, которая его не пересекает.

2. На прямой $l$ выберем произвольную точку и обозначим ее $M$. Эта точка будет одной из вершин искомого треугольника.

3. Построим на прямой $l$ отрезок $MK$. По условию, треугольник $MNK$ должен быть равен треугольнику $ABC$ при заданных соответствиях сторон: $MN=AB$ и $NK=BC$. Из равенства треугольников следует, что третья сторона $MK$ должна быть равна стороне $AC$. С помощью циркуля измерим длину отрезка $AC$. Затем, не меняя раствора циркуля, установим его иглу в точку $M$ и сделаем на прямой $l$ засечку. Обозначим эту засечку точкой $K$. Таким образом, мы получили сторону $MK$ искомого треугольника, которая лежит на прямой $l$ и для которой выполнено $MK = AC$.

4. Теперь найдем положение третьей вершины $N$. Вершина $N$ является точкой пересечения двух дуг окружностей:

   1. Первая дуга — с центром в точке $M$ и радиусом, равным длине стороны $AB$. Измерим циркулем $AB$ и проведем эту дугу.

   2. Вторая дуга — с центром в точке $K$ и радиусом, равным длине стороны $BC$. Измерим циркулем $BC$ и проведем эту дугу.

   Точка пересечения этих двух дуг является вершиной $N$. Как правило, существует две такие точки пересечения, симметричные относительно прямой $l$. Мы можем выбрать любую из них.

5. Соединим точку $N$ с точками $M$ и $K$ при помощи линейки. Треугольник $MNK$ построен.

Доказательство корректности построения:

Построенный треугольник $MNK$ удовлетворяет всем условиям, поставленным в задаче:

• Сторона $MK$ лежит на прямой $l$ (согласно шагу 3).

• Длины сторон треугольника $MNK$ по построению равны: $MN = AB$ и $NK = BC$ (согласно шагу 4), а также $MK = AC$ (согласно шагу 3).

• Поскольку все три стороны треугольника $MNK$ соответственно равны трем сторонам треугольника $ABC$ ($MN = AB, NK = BC, MK = AC$), то $\triangle MNK = \triangle ABC$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Ответ: Искомый треугольник $MNK$ строится по трем сторонам ($MK=AC$, $MN=AB$, $NK=BC$). Сначала на прямой $l$ откладывается сторона $MK$, равная $AC$. Затем вершина $N$ находится как точка пересечения дуг окружностей, проведенных из центра $M$ радиусом $AB$ и из центра $K$ радиусом $BC$.