Номер 261, страница 164 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

261. Постройте треугольник по двум сторонам $a$ и $b$ и медиане $m_b$, проведенной к стороне $b$.

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. По условию, в нем известны сторона $BC = a$, сторона $AC = b$ и медиана $BM_b = m_b$, проведенная к стороне $AC$. Точка $M_b$ является серединой стороны $AC$.

Так как $M_b$ — середина стороны $AC$, то длина отрезка $CM_b$ равна половине длины стороны $AC$, то есть $CM_b = \frac{AC}{2} = \frac{b}{2}$.

Рассмотрим треугольник $BCM_b$. В этом треугольнике нам известны длины всех трех сторон:

• $BC = a$
• $BM_b = m_b$
• $CM_b = \frac{b}{2}$

Таким образом, мы можем построить треугольник $BCM_b$ по трем сторонам. После его построения у нас будут определены вершины $B$, $C$ и точка $M_b$.

Вершина $A$ искомого треугольника $ABC$ должна лежать на прямой, проходящей через точки $C$ и $M_b$. Поскольку $M_b$ — середина $AC$, точка $A$ находится на луче $CM_b$ на расстоянии $CM_b$ от точки $M_b$. Иными словами, нужно продлить отрезок $CM_b$ за точку $M_b$ на его собственную длину. Получив точку $A$, мы можем завершить построение, соединив ее с вершиной $B$.

Построение

Даны три отрезка, равные по длине $a$, $b$ и $m_b$. Построение выполняется с помощью циркуля и линейки.

1. Сначала построим отрезок длиной $\frac{b}{2}$. Для этого начертим отрезок длиной $b$ и разделим его пополам (например, с помощью построения серединного перпендикуляра).

2. Построим треугольник $BCM_b$ по трем известным сторонам: $BC = a$, $BM_b = m_b$ и $CM_b = \frac{b}{2}$.

   1. Проведем произвольную прямую и отложим на ней отрезок $CM_b$ равный $\frac{b}{2}$.

   2. Из центра в точке $C$ проведем дугу окружности радиусом $a$.

   3. Из центра в точке $M_b$ проведем дугу окружности радиусом $m_b$.

   4. Точку пересечения этих двух дуг обозначим как $B$. Соединим точки $B$, $C$ и $M_b$, получив треугольник $BCM_b$.

3. Теперь найдем положение вершины $A$. Проведем луч, начинающийся в точке $C$ и проходящий через точку $M_b$.

4. На этом луче от точки $M_b$ отложим отрезок $M_bA$, равный отрезку $CM_b$, так, чтобы точка $M_b$ оказалась между точками $C$ и $A$.

5. Соединим точки $A$ и $B$. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

• Сторона $BC$ по построению равна $a$.

• Сторона $AC$ состоит из двух отрезков, $CM_b$ и $M_bA$. По построению, $CM_b = \frac{b}{2}$ и $M_bA = CM_b = \frac{b}{2}$. Следовательно, $AC = CM_b + M_bA = \frac{b}{2} + \frac{b}{2} = b$.

• Отрезок $BM_b$ соединяет вершину $B$ с серединой $M_b$ стороны $AC$, значит, $BM_b$ является медианой. Длина этого отрезка по построению равна $m_b$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ является искомым.

Исследование

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда возможно построение треугольника $BCM_b$ на шаге 2. Это возможно, если длины его сторон $a$, $m_b$ и $\frac{b}{2}$ удовлетворяют неравенству треугольника:

$a + m_b > \frac{b}{2}$

$a + \frac{b}{2} > m_b$

$m_b + \frac{b}{2} > a$

Если эти условия выполняются, то на шаге 2(г) дуги пересекутся в одной точке (если сумма двух длин равна третьей, что приведет к вырожденному треугольнику) или двух точках (симметричных относительно прямой $CM_b$). В последнем случае мы получим два конгруэнтных треугольника, что означает, что решение задачи единственно с точностью до конгруэнтности. Если хотя бы одно из неравенств не выполняется, то построение невозможно, и задача не имеет решений.

Ответ: Задача имеет единственное (с точностью до конгруэнтности) решение, если длины отрезков $a$, $m_b$ и $\frac{b}{2}$ удовлетворяют неравенствам треугольника: $a + m_b > \frac{b}{2}$, $a + \frac{b}{2} > m_b$ и $m_b + \frac{b}{2} > a$. В противном случае задача решения не имеет. Алгоритм построения описан выше.