Номер 267, страница 167 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

267. В одной полуплоскости относительно прямой $m$ лежат две точки $A$ и $B$. На прямой $m$ постройте точку $M$, равноудаленную от точек $A$ и $B$.

Искомая точка $M$ должна удовлетворять двум условиям: она должна лежать на прямой $m$ и должна быть равноудалена от точек $A$ и $B$.

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек (в нашем случае $A$ и $B$), — это серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки ($AB$). Обозначим этот серединный перпендикуляр как прямую $p$.

Следовательно, искомая точка $M$ должна одновременно принадлежать двум прямым: данной прямой $m$ и серединному перпендикуляру $p$. Таким образом, точка $M$ является точкой пересечения этих двух прямых.

1. Соединяем точки $A$ и $B$ отрезком.
2. Строим серединный перпендикуляр $p$ к отрезку $AB$. Для этого:
а) Из точек $A$ и $B$ как из центров проводим две дуги окружности одного и того же радиуса $R$, причем радиус должен быть больше половины длины отрезка $AB$ ($R > \frac{1}{2}AB$).
б) Отмечаем две точки, в которых эти дуги пересекаются. Назовем их $P_1$ и $P_2$.
в) Проводим прямую через точки $P_1$ и $P_2$. Эта прямая $p$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.
3. Находим точку пересечения построенной прямой $p$ и данной прямой $m$. Эта точка и будет искомой точкой $M$.

По построению, точка $M$ лежит на прямой $m$. Также по построению, точка $M$ лежит на серединном перпендикуляре $p$ к отрезку $AB$. Согласно свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка. Следовательно, расстояние $AM$ равно расстоянию $BM$ ($AM=BM$). Таким образом, построенная точка $M$ удовлетворяет всем условиям задачи.

В зависимости от взаимного расположения прямой $m$ и точек $A$ и $B$, задача может иметь разное количество решений.
1. Единственное решение. Если прямая, проходящая через точки $A$ и $B$, не перпендикулярна прямой $m$, то серединный перпендикуляр $p$ к отрезку $AB$ не будет параллелен прямой $m$ и пересечет ее в одной точке. В этом случае задача имеет единственное решение.
2. Нет решений. Если прямая, проходящая через точки $A$ и $B$, перпендикулярна прямой $m$, то серединный перпендикуляр $p$ к отрезку $AB$ будет параллелен прямой $m$. Так как по условию точки $A$ и $B$ лежат в одной полуплоскости относительно $m$, прямая $p$ не может совпадать с прямой $m$. В этом случае прямые $p$ и $m$ не пересекаются, и задача решений не имеет.
Случай, когда прямая $m$ совпадает с серединным перпендикуляром $p$, невозможен, так как это противоречило бы условию, что точки $A$ и $B$ лежат в одной полуплоскости относительно $m$.

Ответ: Искомая точка $M$ есть точка пересечения прямой $m$ и серединного перпендикуляра к отрезку $AB$. Задача имеет единственное решение, если прямая $AB$ не перпендикулярна прямой $m$. Если прямая $AB$ перпендикулярна прямой $m$, решений нет.