Номер 268, страница 167 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

268*. Дан неравнобедренный треугольник $ABC$. На биссектрисе угла $B$ найдите точку, которая находится на равном расстоянии от вершин $A$ и $C$.

Пусть искомая точка — это точка $P$. Согласно условию задачи, точка $P$ должна удовлетворять двум требованиям:

1. Точка $P$ должна лежать на биссектрисе угла $B$ треугольника $ABC$.
2. Точка $P$ должна быть равноудалена от вершин $A$ и $C$, то есть должно выполняться равенство $PA = PC$.

Рассмотрим эти два условия с точки зрения геометрических мест точек (ГМТ).

1. Первое условие означает, что точка $P$ принадлежит прямой, содержащей биссектрису угла $B$. Обозначим эту прямую $l$.

2. Второе условие, $PA = PC$, означает, что точка $P$ принадлежит геометрическому месту точек, равноудаленных от точек $A$ и $C$. Таким ГМТ является серединный перпендикуляр к отрезку $AC$. Обозначим эту прямую $m$.

Так как точка $P$ должна удовлетворять обоим условиям одновременно, она является точкой пересечения прямой $l$ (биссектрисы угла $B$) и прямой $m$ (серединного перпендикуляра к стороне $AC$).

Для того чтобы решение существовало и было единственным, необходимо, чтобы прямые $l$ и $m$ пересекались в одной точке. Две прямые на плоскости пересекаются в единственной точке, если они не параллельны.

Выясним, могут ли эти прямые быть параллельными. Прямая $m$ по определению перпендикулярна прямой $AC$. Если бы прямая $l$ была параллельна прямой $m$, то $l$ также была бы перпендикулярна прямой $AC$ ($l \perp AC$).

В треугольнике биссектриса, проведенная из вершины, перпендикулярна противолежащей стороне тогда и только тогда, когда треугольник является равнобедренным относительно этой вершины. То есть, если бы биссектриса угла $B$ была перпендикулярна $AC$, то треугольник $ABC$ был бы равнобедренным с равными сторонами $AB = BC$.

Однако в условии задачи указано, что треугольник $ABC$ — неравнобедренный. Следовательно, $AB \neq BC$, и биссектриса угла $B$ не может быть перпендикулярна стороне $AC$. Таким образом, прямые $l$ и $m$ не параллельны и пересекаются в единственной точке.

Эта единственная точка пересечения и является искомой точкой.

Ответ: Искомая точка является точкой пересечения биссектрисы угла $B$ и серединного перпендикуляра к стороне $AC$.