Номер 262, страница 164 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

262*. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне.

Для решения задачи построения треугольника по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне, используется метод достроения до параллелограмма.

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. В нем известны длины сторон $AC = a$, $BC = b$ и длина медианы $CM = m_c$, проведенной к стороне $AB$. Точка $M$ является серединой стороны $AB$.

Продолжим медиану $CM$ за точку $M$ на ее длину и получим точку $D$ так, что $CM = MD$. Таким образом, $CD = 2m_c$.

Рассмотрим четырехугольник $ACBD$. Его диагонали $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$. По определению медианы, $AM = MB$. По нашему построению, $CM = MD$. Так как диагонали четырехугольника $ACBD$ в точке пересечения делятся пополам, то $ACBD$ — параллелограмм.

Основное свойство параллелограмма — равенство противолежащих сторон. Отсюда следует, что $AD = BC = b$ и $BD = AC = a$.

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. Длины всех его сторон нам известны: $AC = a$, $AD = b$ и $CD = 2m_c$. Мы можем построить этот треугольник по трем сторонам.

Построив треугольник $ACD$, мы найдем вершины $A$ и $C$ искомого треугольника. Вершина $B$ находится достроением до параллелограмма $ACBD$.

Построение

Пусть даны три отрезка, задающие длины $a$, $b$ и $m_c$.

1. Строим отрезок $CD$ длиной, равной удвоенной длине медианы, то есть $CD = 2m_c$.
2. Из точки $C$ как из центра проводим дугу окружности радиусом $a$.
3. Из точки $D$ как из центра проводим дугу окружности радиусом $b$.
4. Точку пересечения этих дуг обозначаем буквой $A$. (Если дуги не пересекаются, то задача не имеет решения).
5. Соединяем точки $A$, $C$ и $D$, получая вспомогательный треугольник $ACD$.
6. Находим середину отрезка $CD$ и обозначаем ее точкой $M$. (Эта точка уже была бы отмечена при построении отрезка $CD$ длиной $2m_c$).
7. Проводим луч $AM$ и на нем за точкой $M$ откладываем отрезок $MB$, равный отрезку $AM$.
8. Соединяем точки $B$ и $C$.

Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

Рассмотрим построенный треугольник $ABC$.

• По построению, сторона $AC$ имеет длину $a$.
• Рассмотрим четырехугольник $ACBD$. По построению, точка $M$ является серединой отрезка $CD$ ($CM = MD = m_c$). Также по построению, $M$ является серединой отрезка $AB$ ($AM = MB$). Следовательно, диагонали четырехугольника $ACBD$ пересекаются в точке $M$ и делятся ею пополам. Значит, $ACBD$ — параллелограмм.
• Так как $ACBD$ — параллелограмм, его противолежащие стороны равны: $BC = AD$. По построению, $AD = b$, следовательно, $BC = b$.
• Отрезок $CM$ соединяет вершину $C$ с серединой $M$ противоположной стороны $AB$, значит, $CM$ — медиана треугольника $ABC$. Ее длина по построению равна $m_c$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ имеет стороны $a$ и $b$ и медиану $m_c$, проведенную к третьей стороне, что и требовалось доказать.

Исследование

Построение возможно в том и только в том случае, если возможно построить вспомогательный треугольник $ACD$ со сторонами $a$, $b$ и $2m_c$. Для этого необходимо, чтобы выполнялось неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны.

Должны выполняться три условия:

• $a + b > 2m_c$
• $a + 2m_c > b$
• $b + 2m_c > a$

Если эти условия выполнены, задача имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности), так как две дуги окружностей пересекутся в двух точках, симметричных относительно прямой $CD$, что приведет к построению двух равных треугольников.

Если одно из условий обращается в равенство, то точки $A$, $C$ и $D$ будут лежать на одной прямой, и построить невырожденный треугольник будет невозможно.

Если хотя бы одно из неравенств не выполняется, то дуги не пересекутся, и задача не будет иметь решений.

Ответ: План построения, его доказательство и исследование приведены выше. Построение сводится к построению вспомогательного треугольника со сторонами $a$, $b$ и $2m_c$, где $a$ и $b$ — данные стороны, а $m_c$ — данная медиана. Вершина искомого треугольника затем находится путем достроения до параллелограмма. Задача имеет решение, если для длин $a$, $b$ и $2m_c$ выполняется неравенство треугольника.