Номер 266, страница 167 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

266. Постройте точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника и окружность, проходящую через все вершины треугольника.

Задача состоит из двух последовательных построений. Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника является центром окружности, проходящей через все его вершины (такая окружность называется описанной). Поэтому сначала мы находим эту точку, а затем строим саму окружность.

Построение точки пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника

Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, которая проходит через середину этого отрезка и перпендикулярна ему. Любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, равноудалена от концов отрезка.

Порядок построения:

1. Начертим произвольный треугольник $ABC$.

2. Построим серединный перпендикуляр к стороне $AB$. Для этого с помощью циркуля и линейки:

а) Установим раствор циркуля так, чтобы он был больше половины длины отрезка $AB$. Проведем дугу с центром в вершине $A$.

б) Не меняя раствора циркуля, проведем дугу с центром в вершине $B$.

в) Дуги пересекутся в двух точках. Проведем через эти точки прямую. Эта прямая является серединным перпендикуляром к стороне $AB$. Обозначим ее $m_1$.

3. Аналогичным образом построим серединный перпендикуляр к стороне $BC$:

а) Проведем две пересекающиеся дуги одинакового радиуса (большего половины длины $BC$) с центрами в вершинах $B$ и $C$.

б) Проведем прямую через точки пересечения этих дуг. Эта прямая $m_2$ — серединный перпендикуляр к стороне $BC$.

4. Точка пересечения прямых $m_1$ и $m_2$ является искомой точкой пересечения серединных перпендикуляров. Обозначим эту точку буквой $O$.

Замечание: Теорема о серединных перпендикулярах треугольника гласит, что все три серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке. Поэтому для нахождения этой точки достаточно построить любые два из них.

Так как точка $O$ лежит на $m_1$, то $OA = OB$. Так как точка $O$ лежит на $m_2$, то $OB = OC$. Следовательно, $OA = OB = OC$, что означает, что точка $O$ равноудалена от всех трех вершин треугольника.

Построение окружности, проходящей через все вершины треугольника

Окружность, которая проходит через все три вершины треугольника, называется описанной около треугольника.

Порядок построения:

1. Центром описанной окружности является точка $O$, которую мы нашли на предыдущем шаге.

2. Радиусом $R$ описанной окружности является расстояние от ее центра $O$ до любой из вершин треугольника (поскольку $OA = OB = OC = R$).

3. Построим окружность с помощью циркуля:

а) Установим иглу циркуля в точку $O$.

б) Установим грифель циркуля в любую из вершин треугольника, например, в точку $A$.

в) Начертим окружность. Она пройдет через все три вершины: $A, B$ и $C$.

Построение завершено.

Ответ: Сначала с помощью циркуля и линейки строятся серединные перпендикуляры к двум любым сторонам треугольника. Точка их пересечения $O$ является искомой точкой, а также центром описанной окружности. Затем строится окружность с центром в точке $O$ и радиусом, равным расстоянию от точки $O$ до любой из вершин треугольника. Эта окружность является искомой, так как она проходит через все три вершины.