Номер 272, страница 171 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

272. Постройте равнобедренный треугольник по высоте и основанию.

Для построения равнобедренного треугольника по заданным высоте и основанию, необходимо воспользоваться ключевым свойством такого треугольника: высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Это означает, что высота делит основание на два равных отрезка.

Пусть нам даны два отрезка: один, равный длине основания $a$, и второй, равный длине высоты $h$.

Построение

1. Проведем произвольную прямую и отметим на ней точку $H$. Эта точка будет основанием высоты и серединой основания будущего треугольника.
2. С помощью циркуля и линейки построим прямую, проходящую через точку $H$ и перпендикулярную исходной прямой.
3. На этой перпендикулярной прямой отложим от точки $H$ отрезок $HB$, равный по длине заданной высоте $h$. Точка $B$ будет вершиной треугольника, противолежащей основанию.
4. С помощью циркуля и линейки разделим заданный отрезок основания $a$ пополам, чтобы получить отрезок длиной $a/2$.
5. На исходной прямой отложим от точки $H$ в обе стороны отрезки $HA$ и $HC$, каждый из которых равен по длине $a/2$. Точки $A$ и $C$ будут двумя другими вершинами треугольника.
6. Соединим точки $A$, $B$ и $C$ отрезками. Полученный треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

Рассмотрим построенный треугольник $ABC$.

• По построению, основание $AC$ равно сумме длин отрезков $AH$ и $HC$. Так как $AH = HC = a/2$, то $AC = a/2 + a/2 = a$. Длина основания треугольника соответствует заданной.
• По построению, отрезок $BH$ перпендикулярен отрезку $AC$, а его длина равна $h$. Следовательно, $BH$ является высотой треугольника $ABC$, и ее длина соответствует заданной.
• Рассмотрим треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$. Они являются прямоугольными, так как $BH \perp AC$. У них общий катет $BH$, а катеты $AH$ и $CH$ равны по построению ($AH=CH$). Следовательно, $\triangle ABH = \triangle CBH$ по двум катетам.
• Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, в частности гипотенуз: $AB = BC$.
• Поскольку две стороны треугольника $ABC$ ($AB$ и $BC$) равны, он является равнобедренным по определению.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ является равнобедренным треугольником с заданными основанием $a$ и высотой $h$.

Ответ: Алгоритм построения искомого треугольника и его доказательство приведены выше.