Номер 279, страница 174 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

279. Найдите геометрическое место центров окружностей, каждая из которых проходит через две данные точки.

Пусть даны две различные точки, назовем их $A$ и $B$. Мы ищем геометрическое место центров $O$ окружностей, каждая из которых проходит через эти две точки.

Если окружность с центром в точке $O$ проходит через точки $A$ и $B$, то по определению окружности расстояния от центра до этих точек равны радиусу $R$ этой окружности. Таким образом, должно выполняться равенство:

$OA = OB = R$

Это означает, что любая точка $O$, являющаяся центром такой окружности, должна быть равноудалена от точек $A$ и $B$.

Множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух данных точек, является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки. Докажем это.

1. Каждая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка.

Пусть прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$, и пусть $M$ — середина отрезка $AB$. Возьмем любую точку $O$ на прямой $l$. Рассмотрим треугольники $\triangle OMA$ и $\triangle OMB$.

• $AM = MB$, так как $M$ — середина отрезка $AB$.
• Сторона $OM$ — общая.
• $\angle OMA = \angle OMB = 90^\circ$, так как $l \perp AB$.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle OMA$ и $\triangle OMB$ равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $OA = OB$. Таким образом, любая точка $O$ на серединном перпендикуляре равноудалена от $A$ и $B$, а значит, может быть центром окружности, проходящей через эти точки.

2. Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре.

Пусть некоторая точка $O$ равноудалена от точек $A$ и $B$, то есть $OA = OB$. Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Поскольку две его стороны равны ($OA=OB$), он является равнобедренным с основанием $AB$.

Проведем медиану $OM$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой. Следовательно, $OM \perp AB$.

Так как прямая, содержащая отрезок $OM$, проходит через середину $M$ отрезка $AB$ и перпендикулярна ему, она является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$. Значит, точка $O$ лежит на этом серединном перпендикуляре.

Таким образом, мы доказали, что искомое геометрическое место точек — это прямая, перпендикулярная отрезку, соединяющему две данные точки, и проходящая через его середину.

Ответ: Геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки, есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки.