Номер 282, страница 174 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

282*. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе $c$ и высоте $h_c$.

Для построения прямоугольного треугольника по гипотенузе $c$ и высоте $h_c$, проведенной к этой гипотенузе, используется метод геометрических мест точек (ГМТ).

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен, где $\angle C = 90^\circ$, гипотенуза $AB=c$, а высота $CD=h_c$ (где точка $D$ лежит на прямой $AB$). Вершина прямого угла $C$ должна удовлетворять двум условиям:

1. Поскольку угол $\angle ACB$ прямой, вершина $C$ должна лежать на окружности, построенной на гипотенузе $AB$ как на диаметре. Центр этой окружности — середина гипотенузы, а радиус равен половине гипотенузы, то есть $R = \frac{c}{2}$.
2. Расстояние от вершины $C$ до прямой, содержащей гипотенузу $AB$, должно быть равно высоте $h_c$. Геометрическим местом точек, удаленных от прямой $AB$ на расстояние $h_c$, являются две прямые, параллельные $AB$ и расположенные по разные стороны от нее.

Следовательно, искомая вершина $C$ является точкой пересечения этих двух ГМТ: окружности с диаметром $AB$ и одной из прямых, параллельных $AB$ на расстоянии $h_c$.

Построение

На основании анализа можно составить следующий план построения:

1. С помощью линейки построить отрезок $AB$ заданной длины $c$.
2. Найти середину отрезка $AB$. Для этого построить две дуги окружности с центрами в точках $A$ и $B$ и одинаковым радиусом, большим половины $AB$. Прямая, проходящая через точки пересечения этих дуг, пересечет отрезок $AB$ в его середине, которую обозначим $O$.
3. Построить окружность $\omega$ с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA = \frac{c}{2}$.
4. Построить прямую $m$, параллельную прямой $AB$ и находящуюся на расстоянии $h_c$ от нее. Для этого можно в любой точке прямой $AB$ (например, в точке $O$) восставить перпендикуляр к $AB$, отложить на нем отрезок длиной $h_c$ и через конец этого отрезка провести прямую $m$, параллельную $AB$.
5. Найти точки пересечения окружности $\omega$ и прямой $m$. Если они существуют, любую из них обозначить буквой $C$.
6. Соединить точку $C$ с точками $A$ и $B$ отрезками. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

Докажем, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

• Сторона $AB$ равна $c$ по построению.
• Точка $C$ лежит на окружности с диаметром $AB$, следовательно, вписанный угол $\angle ACB$, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. Таким образом, треугольник $ABC$ — прямоугольный.
• Расстояние от точки $C$ до прямой $AB$ равно расстоянию между параллельными прямыми $m$ и $AB$, которое по построению равно $h_c$. Это расстояние и является высотой треугольника, проведенной из вершины $C$ к гипотенузе $AB$.

Следовательно, построенный треугольник $ABC$ является искомым.

Исследование

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда окружность $\omega$ и прямая $m$ имеют общие точки. Расстояние от центра окружности $O$ до прямой $m$ равно $h_c$, а радиус окружности равен $R = \frac{c}{2}$.

• Если $h_c > \frac{c}{2}$, то прямая $m$ не пересекает окружность $\omega$, и задача не имеет решений.
• Если $h_c = \frac{c}{2}$, то прямая $m$ касается окружности в одной точке. Эта точка будет вершиной $C$. В этом случае искомый треугольник будет равнобедренным прямоугольным. Решение единственно (с точностью до конгруэнтности).
• Если $h_c < \frac{c}{2}$, то прямая $m$ пересекает окружность в двух точках $C_1$ и $C_2$. Получаются два треугольника: $\triangle ABC_1$ и $\triangle ABC_2$. Эти треугольники конгруэнтны, так как они симметричны относительно серединного перпендикуляра к гипотенузе $AB$. Таким образом, решение также единственно (с точностью до конгруэнтности).

Таким образом, задача имеет решение только при условии $h_c \le \frac{c}{2}$.

Ответ: Построение основано на нахождении вершины прямого угла как точки пересечения двух геометрических мест: окружности, построенной на гипотенузе $c$ как на диаметре, и прямой, параллельной гипотенузе и отстоящей от нее на расстояние $h_c$. Задача имеет решение при условии, что высота не превышает половину гипотенузы, то есть $h_c \le \frac{c}{2}$.