Номер 277, страница 174 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

277. На плоскости даны точки A и B. Найдите геометрическое место точек M плоскости, для которых:

a) $AM = MB;$

б) $AM < BM.$

а) AM = MB;

Условие $AM = MB$ означает, что точка $M$ равноудалена от точек $A$ и $B$.

Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от двух данных точек, есть прямая, перпендикулярная отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину. Такая прямая называется серединным перпендикуляром к отрезку.

Докажем это.

1. Пусть точка $M$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. Обозначим середину отрезка $AB$ буквой $C$. Тогда по определению серединного перпендикуляра, $AC = CB$ и прямая $MC$ перпендикулярна прямой $AB$ ($\angle MCA = \angle MCB = 90^\circ$). Рассмотрим треугольники $\triangle ACM$ и $\triangle BCM$. У них сторона $MC$ — общая, $AC = CB$, и углы между этими сторонами равны. Следовательно, $\triangle ACM = \triangle BCM$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $AM = MB$.

2. Пусть теперь точка $M$ такова, что $AM = MB$. Тогда треугольник $\triangle AMB$ является равнобедренным с основанием $AB$. Проведем медиану $MC$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, $MC \perp AB$. Так как $C$ — середина $AB$ и $MC \perp AB$, то точка $M$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$.

Таким образом, искомое геометрическое место точек — это серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.

Ответ: Серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.

б) AM < BM.

Из пункта а) мы знаем, что множество точек $M$, для которых $AM = MB$, — это серединный перпендикуляр к отрезку $AB$. Обозначим эту прямую буквой $l$.

Прямая $l$ делит всю плоскость на две открытые полуплоскости. Точка $A$ лежит в одной из них, а точка $B$ — в другой. Назовем полуплоскость, содержащую точку $A$, полуплоскостью $H_A$, а полуплоскость, содержащую точку $B$, — полуплоскостью $H_B$.

Возьмем произвольную точку $M$ в полуплоскости $H_A$. Отрезок $BM$ пересекает прямую $l$ в некоторой точке $P$.

Поскольку точка $P$ лежит на серединном перпендикуляре $l$, то $AP = BP$.

Так как точка $P$ лежит на отрезке $BM$, то длина отрезка $BM$ равна сумме длин отрезков $BP$ и $PM$: $BM = BP + PM$. Заменив $BP$ на равное ему $AP$, получаем: $BM = AP + PM$.

Рассмотрим треугольник $\triangle APM$. По неравенству треугольника, длина стороны $AM$ меньше суммы длин двух других сторон: $AM < AP + PM$. (Равенство достигалось бы только в случае, если бы точка $P$ лежала на отрезке $AM$, что невозможно, так как $M \in H_A$, а $P \in l$).

Сравнивая полученные выражения, имеем: $AM < AP + PM$ и $BM = AP + PM$. Отсюда следует, что $AM < BM$. Это верно для любой точки $M$ из полуплоскости $H_A$.

Если же взять точку $M$ в полуплоскости $H_B$, то аналогичными рассуждениями (рассмотрев пересечение отрезка $AM$ с прямой $l$) можно показать, что будет выполняться неравенство $AM > BM$.

Следовательно, искомое геометрическое место точек — это открытая полуплоскость, границей которой является серединный перпендикуляр к отрезку $AB$, и которая содержит точку $A$.

Ответ: Открытая полуплоскость, ограниченная серединным перпендикуляром к отрезку $AB$ и содержащая точку $A$.