Номер 273, страница 171 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

273. Постройте прямоугольник по двум сторонам $a$ и $b$.

Для построения прямоугольника по двум заданным сторонам $a$ и $b$ с помощью циркуля и линейки без делений, необходимо выполнить следующую последовательность шагов:

1. Провести произвольную прямую и отметить на ней точку $A$. Эта точка будет одной из вершин будущего прямоугольника.
2. С помощью циркуля измерить длину стороны $a$. Установить острие циркуля в точку $A$ и провести дугу, пересекающую прямую. Точку пересечения обозначим $B$. Таким образом, построен отрезок $AB$ длиной $a$.
3. Построить прямую, перпендикулярную отрезку $AB$ и проходящую через точку $A$. Для этого:
а) Построить окружность с центром в точке $A$ произвольного радиуса $r$, которая пересечет прямую в двух точках.
б) Из этих двух точек пересечения построить две дуги с одинаковым радиусом (большим, чем $r$) так, чтобы они пересеклись.
в) Провести прямую через точку $A$ и точку пересечения дуг. Эта прямая перпендикулярна прямой $AB$.
4. На построенной перпендикулярной прямой отложить от точки $A$ отрезок $AD$ длиной $b$. Точка $D$ — третья вершина прямоугольника. Таким образом, у нас есть три вершины $A$, $B$, $D$ и прямой угол $\angle DAB$.
5. Найти четвертую вершину $C$. Она должна находиться на расстоянии $b$ от вершины $B$ и на расстоянии $a$ от вершины $D$. Для этого:
а) Провести дугу окружности с центром в точке $B$ и радиусом, равным $b$.
б) Провести дугу окружности с центром в точке $D$ и радиусом, равным $a$.
Точка пересечения этих двух дуг и будет искомой четвертой вершиной $C$.
6. Соединить отрезками точку $B$ с точкой $C$ и точку $D$ с точкой $C$.

В результате этих действий будет построен четырехугольник $ABCD$. Докажем, что он является искомым прямоугольником. По построению, $\angle DAB = 90^\circ$. Также по построению $AB = a$, $AD = b$. Длина стороны $BC$ равна $b$ (как радиус окружности с центром в $B$), а длина стороны $DC$ равна $a$ (как радиус окружности с центром в $D$). В четырехугольнике $ABCD$ противоположные стороны попарно равны ($AB = DC = a$ и $AD = BC = b$), следовательно, $ABCD$ — параллелограмм. Так как у параллелограмма $ABCD$ есть прямой угол ($\angle DAB = 90^\circ$), то этот параллелограмм является прямоугольником. Стороны построенного прямоугольника равны заданным длинам $a$ и $b$.

Ответ: Четырехугольник $ABCD$, построенный по вышеописанному алгоритму, является искомым прямоугольником.