Номер 269, страница 171 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

269. Изобразите остроугольный треугольник $ABC$. Постройте:

а) высоту $AH$;

б) точку пересечения высот треугольника $ABC$.

Сначала изобразим произвольный остроугольный треугольник $ABC$. Это треугольник, у которого все углы острые, то есть меньше $90°$.

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. Высота $AH$ проводится из вершины $A$ к стороне $BC$.

Порядок построения высоты $AH$ с помощью циркуля и линейки:

1. Устанавливаем острие циркуля в вершину $A$ и проводим дугу так, чтобы она пересекла прямую $BC$ в двух точках (назовем их $M_1$ и $M_2$). Если сторона $BC$ слишком коротка, ее необходимо мысленно или с помощью линейки продлить.
2. Из точек $M_1$ и $M_2$ проводим две дуги одинакового радиуса (большего, чем половина отрезка $M_1M_2$) так, чтобы они пересеклись с противоположной от вершины $A$ стороны.
3. Соединяем вершину $A$ с точкой пересечения этих дуг.
4. Отрезок, соединяющий вершину $A$ с точкой пересечения на прямой $BC$, и есть высота $AH$.

Построенный отрезок $AH$ перпендикулярен стороне $BC$, то есть $AH \perp BC$. Это означает, что $∠AHB = ∠AHC = 90°$.

Ответ: Высота $AH$ построена как перпендикуляр из вершины $A$ на сторону $BC$.

Все три высоты треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром. В остроугольном треугольнике ортоцентр всегда находится внутри треугольника.

Чтобы найти точку пересечения высот, необходимо построить как минимум две высоты.

1. Первая высота $AH$ уже построена в пункте а).
2. Строим вторую высоту, например, $BK$ из вершины $B$ к стороне $AC$. Построение выполняется аналогично: проводим перпендикуляр из точки $B$ к прямой, содержащей сторону $AC$. Основание перпендикуляра на $AC$ обозначаем точкой $K$. Таким образом, получаем высоту $BK$, где $BK \perp AC$.
3. Находим точку пересечения построенных высот $AH$ и $BK$. Обозначим эту точку буквой $O$.

Точка $O$ является искомой точкой пересечения высот треугольника $ABC$. Если построить третью высоту $CL$ (из вершины $C$ к стороне $AB$), она также пройдет через точку $O$.

Ответ: Точка пересечения высот (ортоцентр) $O$ найдена как точка пересечения высот $AH$ и $BK$.