Номер 276, страница 174 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

276. На плоскости даны точки $A$ и $B$. Найдите геометрическое место точек $M$ плоскости, для которых:

а) отрезок $AB$ является основанием равнобедренного треугольника $AMB$;

б) отрезок $AB$ является боковой стороной равнобедренного треугольника $AMB$.

а) отрезок AB является основанием равнобедренного треугольника AMB;

Если отрезок AB является основанием равнобедренного треугольника AMB, то его боковые стороны AM и BM должны быть равны. То есть, для любой искомой точки M должно выполняться равенство $AM = BM$.

Множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух данных точек (в нашем случае A и B), представляет собой серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки (отрезок AB).

Однако, чтобы точки A, M, B образовывали треугольник, точка M не должна лежать на прямой AB. Серединный перпендикуляр к отрезку AB пересекает прямую AB в одной точке — середине отрезка AB. Если точка M совпадает с серединой отрезка AB, то точки A, M, B лежат на одной прямой, и треугольник вырождается в отрезок. Следовательно, эту точку необходимо исключить.

Ответ: геометрическое место точек M — это серединный перпендикуляр к отрезку AB, за исключением середины этого отрезка.

б) отрезок AB является боковой стороной равнобедренного треугольника AMB.

Если отрезок AB является боковой стороной равнобедренного треугольника AMB, то он должен быть равен одной из двух других сторон: либо AM, либо BM.

Рассмотрим два возможных случая:

• 1. $AM = AB$. Это условие означает, что точка M находится на фиксированном расстоянии, равном длине отрезка AB, от точки A. Геометрическое место таких точек — это окружность с центром в точке A и радиусом, равным длине отрезка AB ($R=AB$).
• 2. $BM = AB$. Аналогично, это условие означает, что точка M находится на фиксированном расстоянии, равном длине отрезка AB, от точки B. Геометрическое место таких точек — это окружность с центром в точке B и радиусом, равным длине отрезка AB ($R=AB$).

Искомое геометрическое место точек M является объединением этих двух окружностей.

Как и в предыдущем пункте, для существования невырожденного треугольника AMB точка M не должна лежать на прямой AB. Каждая из найденных окружностей пересекает прямую AB в двух точках. Окружность с центром A и радиусом AB проходит через точку B. Окружность с центром B и радиусом AB проходит через точку A. Также каждая окружность пересекает прямую AB в еще одной точке, лежащей с другой стороны от центра. Все эти точки, лежащие на прямой AB, должны быть исключены из искомого множества.

Ответ: геометрическое место точек M — это объединение двух окружностей: окружности с центром в точке A и радиусом AB и окружности с центром в точке B и радиусом AB, за исключением точек, лежащих на прямой AB.