Номер 5, страница 161 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

5. Найдите точки $D$ и $F$ пересечения построенной окружности с окружностью с центром в точке $K$ и радиусом, равным отрезку $BC$; постройте точку $G$ пересечения хорды $DF$ и отрезка $MK$.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть левый нижний угол сетки будет началом координат $(0, 0)$, а сторона одной клетки сетки равна единице. В этой системе координат заданные точки имеют следующие координаты:

• $A(4, 1)$
• $B(1, 2)$
• $C(2, 4)$
• $M(4, 6)$
• $N(5, 9)$
• $K(1, 9)$

Найдите точки D и F пересечения построенной окружности с окружностью с центром в точке K и радиусом, равным отрезку BC

Задача требует найти точки пересечения двух окружностей. Определим параметры каждой из них.

Первая окружность — "построенная окружность". Поскольку ее определение не дано явно, логично предположить, что это окружность, построенная по трем заданным точкам. Наиболее вероятным кандидатом является окружность, проходящая через точки M, N и K. Найдем ее уравнение.

Центр окружности, проходящей через три точки (назовем его $O_1$), равноудален от них и лежит на пересечении серединных перпендикуляров к отрезкам, соединяющим эти точки.

1. Серединный перпендикуляр к отрезку NK. Точки $N(5, 9)$ и $K(1, 9)$ лежат на горизонтальной прямой $y=9$. Серединный перпендикуляр к этому отрезку будет вертикальной прямой, проходящей через его середину. Абсцисса середины равна $x = \frac{1+5}{2} = 3$. Уравнение этого перпендикуляра: $x=3$.

2. Серединный перпендикуляр к отрезку MK. Найдем середину отрезка $M(4, 6)$ и $K(1, 9)$: $(\frac{4+1}{2}, \frac{6+9}{2}) = (2.5, 7.5)$. Угловой коэффициент прямой MK равен $m_{MK} = \frac{9-6}{1-4} = \frac{3}{-3} = -1$. Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой равен $m_{\perp} = -\frac{1}{m_{MK}} = 1$. Уравнение серединного перпендикуляра (проходит через точку $(2.5, 7.5)$ с наклоном $1$): $y - 7.5 = 1 \cdot (x - 2.5)$, что упрощается до $y = x + 5$.

Центр $O_1$ — это точка пересечения найденных перпендикуляров. Подставив $x=3$ в уравнение $y = x+5$, получаем $y = 3+5=8$. Таким образом, центр первой окружности — $O_1(3, 8)$.

Квадрат радиуса $r_1^2$ — это квадрат расстояния от центра $O_1$ до любой из точек M, N или K. Вычислим его для точки K: $r_1^2 = (1-3)^2 + (9-8)^2 = (-2)^2 + 1^2 = 5$.Уравнение "построенной" окружности: $(x-3)^2 + (y-8)^2 = 5$.

Вторая окружность имеет центр в точке $K(1, 9)$, а ее радиус равен длине отрезка $BC$. Найдем квадрат радиуса $r_2^2$:$r_2^2 = BC^2 = (2-1)^2 + (4-2)^2 = 1^2 + 2^2 = 5$.Уравнение второй окружности: $(x-1)^2 + (y-9)^2 = 5$.

Для нахождения точек пересечения $D$ и $F$ решим систему уравнений:

$\begin{cases} (x-3)^2 + (y-8)^2 = 5 \\ (x-1)^2 + (y-9)^2 = 5 \end{cases}$

Раскроем скобки в каждом уравнении:

$\begin{cases} x^2 - 6x + 9 + y^2 - 16y + 64 = 5 \implies x^2+y^2-6x-16y+68=0 \\ x^2 - 2x + 1 + y^2 - 18y + 81 = 5 \implies x^2+y^2-2x-18y+77=0 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти уравнение прямой (радикальной оси), на которой лежат точки $D$ и $F$:$(x^2+y^2-2x-18y+77) - (x^2+y^2-6x-16y+68) = 0$$4x - 2y + 9 = 0$.Выразим $y$ через $x$: $2y = 4x+9 \implies y = 2x + 4.5$.

Подставим это выражение в уравнение второй окружности:$(x-1)^2 + (2x+4.5 - 9)^2 = 5$$(x-1)^2 + (2x-4.5)^2 = 5$$x^2 - 2x + 1 + 4x^2 - 18x + 20.25 = 5$$5x^2 - 20x + 16.25 = 0$.Решим квадратное уравнение. Дискриминант $\Delta = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4(5)(16.25) = 400 - 325 = 75$.Корни для $x$: $x = \frac{20 \pm \sqrt{75}}{10} = \frac{20 \pm 5\sqrt{3}}{10} = 2 \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдем соответствующие значения $y$:При $x = 2 + \frac{\sqrt{3}}{2}$, $y = 2(2 + \frac{\sqrt{3}}{2}) + 4.5 = 4 + \sqrt{3} + 4.5 = 8.5 + \sqrt{3}$.При $x = 2 - \frac{\sqrt{3}}{2}$, $y = 2(2 - \frac{\sqrt{3}}{2}) + 4.5 = 4 - \sqrt{3} + 4.5 = 8.5 - \sqrt{3}$.

Ответ: Координаты точек пересечения: $D(2 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 8.5 - \sqrt{3})$ и $F(2 + \frac{\sqrt{3}}{2}, 8.5 + \sqrt{3})$.

постройте точку G пересечения хорды DF и отрезка MK

Точка G является точкой пересечения прямой, содержащей хорду $DF$, и прямой, содержащей отрезок $MK$.

Уравнение прямой $DF$ мы уже нашли, это $y = 2x + 4.5$.

Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через точки $M(4, 6)$ и $K(1, 9)$.Ее угловой коэффициент: $m_{MK} = \frac{9-6}{1-4} = \frac{3}{-3} = -1$.Используя точку $K(1, 9)$ и угловой коэффициент, получим уравнение прямой: $y - 9 = -1(x - 1) \implies y = -x + 10$.

Чтобы найти точку пересечения $G$, решим систему уравнений:

$\begin{cases} y = 2x + 4.5 \\ y = -x + 10 \end{cases}$

Приравняем правые части: $2x + 4.5 = -x + 10$.$3x = 5.5 \implies 3x = \frac{11}{2} \implies x = \frac{11}{6}$.

Найдем $y$, подставив $x$ в одно из уравнений:$y = -x + 10 = -\frac{11}{6} + 10 = -\frac{11}{6} + \frac{60}{6} = \frac{49}{6}$.

Координаты точки $G$ равны $(\frac{11}{6}, \frac{49}{6})$.Проверим, лежит ли точка $G$ на отрезке $MK$. Для этого ее координаты должны быть между координатами концов отрезка.$x_K=1=\frac{6}{6}$ и $x_M=4=\frac{24}{6}$. Так как $1 < \frac{11}{6} < 4$, координата $x$ подходит.$y_M=6=\frac{36}{6}$ и $y_K=9=\frac{54}{6}$. Так как $6 < \frac{49}{6} < 9$, координата $y$ также подходит.Следовательно, точка $G$ лежит на отрезке $MK$.

Ответ: Координаты точки G равны $(\frac{11}{6}, \frac{49}{6})$.