Номер 1.212, страница 58 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.212. Упростите выражение:

а) $(\sqrt{2}-3)^2-11;$

б) $(5+2\sqrt{3})^2-37;$

в) $9-(\sqrt{7}-\sqrt{2})^2;$

г) $21-(2\sqrt{5}+1)^2.$

Для решения данных задач мы будем использовать формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и квадрат разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

а) Упростим выражение $(\sqrt{2}-3)^2 - 11$.

Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:

$(\sqrt{2}-3)^2 = (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 3 + 3^2 = 2 - 6\sqrt{2} + 9 = 11 - 6\sqrt{2}$.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$(11 - 6\sqrt{2}) - 11 = 11 - 6\sqrt{2} - 11 = -6\sqrt{2}$.

Ответ: $-6\sqrt{2}$.

б) Упростим выражение $(5+2\sqrt{3})^2 - 37$.

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы:

$(5+2\sqrt{3})^2 = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot 2\sqrt{3} + (2\sqrt{3})^2 = 25 + 20\sqrt{3} + 4 \cdot 3 = 25 + 20\sqrt{3} + 12 = 37 + 20\sqrt{3}$.

Подставим полученный результат в исходное выражение:

$(37 + 20\sqrt{3}) - 37 = 37 + 20\sqrt{3} - 37 = 20\sqrt{3}$.

Ответ: $20\sqrt{3}$.

в) Упростим выражение $9 - (\sqrt{7}-\sqrt{2})^2$.

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:

$(\sqrt{7}-\sqrt{2})^2 = (\sqrt{7})^2 - 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 7 - 2\sqrt{14} + 2 = 9 - 2\sqrt{14}$.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение, не забывая поменять знаки при раскрытии скобок:

$9 - (9 - 2\sqrt{14}) = 9 - 9 + 2\sqrt{14} = 2\sqrt{14}$.

Ответ: $2\sqrt{14}$.

г) Упростим выражение $21 - (2\sqrt{5}+1)^2$.

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы:

$(2\sqrt{5}+1)^2 = (2\sqrt{5})^2 + 2 \cdot 2\sqrt{5} \cdot 1 + 1^2 = 4 \cdot 5 + 4\sqrt{5} + 1 = 20 + 4\sqrt{5} + 1 = 21 + 4\sqrt{5}$.

Подставим полученный результат в исходное выражение и раскроем скобки:

$21 - (21 + 4\sqrt{5}) = 21 - 21 - 4\sqrt{5} = -4\sqrt{5}$.

Ответ: $-4\sqrt{5}$.