Номер 1.219, страница 59 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.219. Найдите значение выражения:

a) $ \frac{9}{\sqrt{13}-2} + \frac{3}{4+\sqrt{13}} $

б) $ \frac{42}{2\sqrt{6}-\sqrt{3}} + \frac{24}{2\sqrt{3}+\sqrt{6}} $

в) $ \frac{8}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} - \frac{10}{5-2\sqrt{5}} $

г) $ \frac{8}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} - \frac{9}{\sqrt{6}-\sqrt{3}} $

а) Для нахождения значения выражения $\frac{9}{\sqrt{13} - 2} + \frac{3}{4 + \sqrt{13}}$ упростим каждое слагаемое, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на выражение, сопряженное ее знаменателю.

Упростим первую дробь:

$$ \frac{9}{\sqrt{13} - 2} = \frac{9(\sqrt{13} + 2)}{(\sqrt{13} - 2)(\sqrt{13} + 2)} = \frac{9(\sqrt{13} + 2)}{(\sqrt{13})^2 - 2^2} = \frac{9(\sqrt{13} + 2)}{13 - 4} = \frac{9(\sqrt{13} + 2)}{9} = \sqrt{13} + 2 $$

Упростим вторую дробь:

$$ \frac{3}{4 + \sqrt{13}} = \frac{3(4 - \sqrt{13})}{(4 + \sqrt{13})(4 - \sqrt{13})} = \frac{3(4 - \sqrt{13})}{4^2 - (\sqrt{13})^2} = \frac{3(4 - \sqrt{13})}{16 - 13} = \frac{3(4 - \sqrt{13})}{3} = 4 - \sqrt{13} $$

Теперь сложим полученные выражения:

$$ (\sqrt{13} + 2) + (4 - \sqrt{13}) = \sqrt{13} + 2 + 4 - \sqrt{13} = 6 $$

Ответ: 6

б) Упростим каждое слагаемое в выражении $\frac{42}{2\sqrt{6} - \sqrt{3}} + \frac{24}{2\sqrt{3} + \sqrt{6}}$, избавившись от иррациональности в знаменателях.

Для первого слагаемого:

$$ \frac{42}{2\sqrt{6} - \sqrt{3}} = \frac{42(2\sqrt{6} + \sqrt{3})}{(2\sqrt{6} - \sqrt{3})(2\sqrt{6} + \sqrt{3})} = \frac{42(2\sqrt{6} + \sqrt{3})}{(2\sqrt{6})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{42(2\sqrt{6} + \sqrt{3})}{24 - 3} = \frac{42(2\sqrt{6} + \sqrt{3})}{21} = 2(2\sqrt{6} + \sqrt{3}) = 4\sqrt{6} + 2\sqrt{3} $$

Для второго слагаемого:

$$ \frac{24}{2\sqrt{3} + \sqrt{6}} = \frac{24(2\sqrt{3} - \sqrt{6})}{(2\sqrt{3} + \sqrt{6})(2\sqrt{3} - \sqrt{6})} = \frac{24(2\sqrt{3} - \sqrt{6})}{(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{24(2\sqrt{3} - \sqrt{6})}{12 - 6} = \frac{24(2\sqrt{3} - \sqrt{6})}{6} = 4(2\sqrt{3} - \sqrt{6}) = 8\sqrt{3} - 4\sqrt{6} $$

Сложим полученные результаты:

$$ (4\sqrt{6} + 2\sqrt{3}) + (8\sqrt{3} - 4\sqrt{6}) = 4\sqrt{6} - 4\sqrt{6} + 2\sqrt{3} + 8\sqrt{3} = 10\sqrt{3} $$

Ответ: $10\sqrt{3}$

в) Упростим уменьшаемое и вычитаемое в выражении $\frac{8}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} - \frac{10}{5 - 2\sqrt{5}}$, избавившись от иррациональности в знаменателях.

Для уменьшаемого:

$$ \frac{8}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} = \frac{8(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{(\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5})} = \frac{8(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{7 - 5} = \frac{8(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{2} = 4(\sqrt{7} + \sqrt{5}) = 4\sqrt{7} + 4\sqrt{5} $$

Для вычитаемого:

$$ \frac{10}{5 - 2\sqrt{5}} = \frac{10(5 + 2\sqrt{5})}{(5 - 2\sqrt{5})(5 + 2\sqrt{5})} = \frac{10(5 + 2\sqrt{5})}{5^2 - (2\sqrt{5})^2} = \frac{10(5 + 2\sqrt{5})}{25 - 4 \cdot 5} = \frac{10(5 + 2\sqrt{5})}{25 - 20} = \frac{10(5 + 2\sqrt{5})}{5} = 2(5 + 2\sqrt{5}) = 10 + 4\sqrt{5} $$

Найдем разность:

$$ (4\sqrt{7} + 4\sqrt{5}) - (10 + 4\sqrt{5}) = 4\sqrt{7} + 4\sqrt{5} - 10 - 4\sqrt{5} = 4\sqrt{7} - 10 $$

Ответ: $4\sqrt{7} - 10$

г) Упростим каждый член выражения $\frac{8}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} - \frac{9}{\sqrt{6} - \sqrt{3}}$, избавившись от иррациональности в знаменателях.

Для первого члена:

$$ \frac{8}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{8(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{8(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{8(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = 2(\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{6} - 2\sqrt{2} $$

Для второго члена:

$$ \frac{9}{\sqrt{6} - \sqrt{3}} = \frac{9(\sqrt{6} + \sqrt{3})}{(\sqrt{6} - \sqrt{3})(\sqrt{6} + \sqrt{3})} = \frac{9(\sqrt{6} + \sqrt{3})}{6 - 3} = \frac{9(\sqrt{6} + \sqrt{3})}{3} = 3(\sqrt{6} + \sqrt{3}) = 3\sqrt{6} + 3\sqrt{3} $$

Найдем разность:

$$ (2\sqrt{6} - 2\sqrt{2}) - (3\sqrt{6} + 3\sqrt{3}) = 2\sqrt{6} - 2\sqrt{2} - 3\sqrt{6} - 3\sqrt{3} = -\sqrt{6} - 2\sqrt{2} - 3\sqrt{3} $$

Ответ: $-\sqrt{6} - 2\sqrt{2} - 3\sqrt{3}$