Номер 1.226, страница 60 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.226. Вычислите:

а) $\sqrt{(1 - \sqrt{2})^2} + \sqrt{(2 - \sqrt{2})^2};$

б) $\sqrt{(8 - \sqrt{7})^2} + \sqrt{(1 - \sqrt{7})^2};$

в) $\sqrt{(1 - \sqrt{6})^2} + \sqrt{(\sqrt{6} - 5)^2};$

г) $\sqrt{(13 - \sqrt{19})^2} - \sqrt{(4 - \sqrt{19})^2}.$

а) Используем основное свойство квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$. Тогда исходное выражение можно переписать в виде:

$\sqrt{(1 - \sqrt{2})^2} + \sqrt{(2 - \sqrt{2})^2} = |1 - \sqrt{2}| + |2 - \sqrt{2}|$

Далее раскрываем модули, определив знак подмодульных выражений:

• Так как $1 < \sqrt{2}$ (сравнивая квадраты: $1^2 < (\sqrt{2})^2 \Rightarrow 1 < 2$), то $1 - \sqrt{2} < 0$, и поэтому $|1 - \sqrt{2}| = -(1 - \sqrt{2}) = \sqrt{2} - 1$.
• Так как $2 > \sqrt{2}$ (сравнивая квадраты: $2^2 > (\sqrt{2})^2 \Rightarrow 4 > 2$), то $2 - \sqrt{2} > 0$, и поэтому $|2 - \sqrt{2}| = 2 - \sqrt{2}$.

Подставляем полученные выражения и вычисляем сумму:

$(\sqrt{2} - 1) + (2 - \sqrt{2}) = \sqrt{2} - 1 + 2 - \sqrt{2} = 1$.

Ответ: 1

б) Используем свойство $\sqrt{x^2} = |x|$:

$\sqrt{(8 - \sqrt{7})^2} + \sqrt{(1 - \sqrt{7})^2} = |8 - \sqrt{7}| + |1 - \sqrt{7}|$

Раскрываем модули:

• Так как $8 > \sqrt{7}$ (т.к. $8^2 > (\sqrt{7})^2 \Rightarrow 64 > 7$), то $8 - \sqrt{7} > 0$, и $|8 - \sqrt{7}| = 8 - \sqrt{7}$.
• Так как $1 < \sqrt{7}$ (т.к. $1^2 < (\sqrt{7})^2 \Rightarrow 1 < 7$), то $1 - \sqrt{7} < 0$, и $|1 - \sqrt{7}| = -(1 - \sqrt{7}) = \sqrt{7} - 1$.

Подставляем и вычисляем:

$(8 - \sqrt{7}) + (\sqrt{7} - 1) = 8 - \sqrt{7} + \sqrt{7} - 1 = 7$.

Ответ: 7

в) Используем свойство $\sqrt{x^2} = |x|$:

$\sqrt{(1 - \sqrt{6})^2} + \sqrt{(\sqrt{6} - 5)^2} = |1 - \sqrt{6}| + |\sqrt{6} - 5|$

Раскрываем модули:

• Так как $1 < \sqrt{6}$ (т.к. $1^2 < (\sqrt{6})^2 \Rightarrow 1 < 6$), то $1 - \sqrt{6} < 0$, и $|1 - \sqrt{6}| = -(1 - \sqrt{6}) = \sqrt{6} - 1$.
• Так как $\sqrt{6} < 5$ (т.к. $(\sqrt{6})^2 < 5^2 \Rightarrow 6 < 25$), то $\sqrt{6} - 5 < 0$, и $|\sqrt{6} - 5| = -(\sqrt{6} - 5) = 5 - \sqrt{6}$.

Подставляем и вычисляем:

$(\sqrt{6} - 1) + (5 - \sqrt{6}) = \sqrt{6} - 1 + 5 - \sqrt{6} = 4$.

Ответ: 4

г) Используем свойство $\sqrt{x^2} = |x|$:

$\sqrt{(13 - \sqrt{19})^2} - \sqrt{(4 - \sqrt{19})^2} = |13 - \sqrt{19}| - |4 - \sqrt{19}|$

Раскрываем модули:

• Так как $13 > \sqrt{19}$ (т.к. $13^2 > (\sqrt{19})^2 \Rightarrow 169 > 19$), то $13 - \sqrt{19} > 0$, и $|13 - \sqrt{19}| = 13 - \sqrt{19}$.
• Так как $4 < \sqrt{19}$ (т.к. $4^2 < (\sqrt{19})^2 \Rightarrow 16 < 19$), то $4 - \sqrt{19} < 0$, и $|4 - \sqrt{19}| = -(4 - \sqrt{19}) = \sqrt{19} - 4$.

Подставляем и вычисляем, обращая внимание на знак "минус" между членами:

$(13 - \sqrt{19}) - (\sqrt{19} - 4) = 13 - \sqrt{19} - \sqrt{19} + 4 = 17 - 2\sqrt{19}$.

Ответ: $17 - 2\sqrt{19}$