Номер 1.220, страница 59 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.220. Упростите выражение:

а) $ \frac{2}{1-2\sqrt{3}} + \frac{2}{1+2\sqrt{3}}; $

б) $ \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}. $

a) Для того чтобы сложить дроби $\frac{2}{1-2\sqrt{3}} + \frac{2}{1+2\sqrt{3}}$, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель — это произведение знаменателей данных дробей: $(1-2\sqrt{3})(1+2\sqrt{3})$.

Для вычисления знаменателя воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$$ (1-2\sqrt{3})(1+2\sqrt{3}) = 1^2 - (2\sqrt{3})^2 = 1 - (4 \cdot 3) = 1 - 12 = -11 $$

Теперь приведем дроби к общему знаменателю и сложим их:

$$ \frac{2(1+2\sqrt{3})}{(1-2\sqrt{3})(1+2\sqrt{3})} + \frac{2(1-2\sqrt{3})}{(1+2\sqrt{3})(1-2\sqrt{3})} = \frac{2(1+2\sqrt{3}) + 2(1-2\sqrt{3})}{-11} $$

Упростим числитель:

$$ 2(1+2\sqrt{3}) + 2(1-2\sqrt{3}) = 2 + 4\sqrt{3} + 2 - 4\sqrt{3} = 4 $$

Таким образом, значение выражения равно:

$$ \frac{4}{-11} = -\frac{4}{11} $$

Ответ: $-\frac{4}{11}$

б) Для упрощения выражения $\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$ также найдем общий знаменатель. Он равен $(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3})$.

Вычислим знаменатель, используя формулу разности квадратов:

$$ (\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 = 7 - 3 = 4 $$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$$ \frac{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3})} - \frac{(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{7}+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{7}-\sqrt{3})^2}{4} $$

Для упрощения числителя можно воспользоваться тождеством $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$. В нашем случае $a=\sqrt{7}$ и $b=\sqrt{3}$:

$$ (\sqrt{7}+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{7}-\sqrt{3})^2 = 4 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{21} $$

Теперь подставим полученное значение числителя в выражение:

$$ \frac{4\sqrt{21}}{4} = \sqrt{21} $$

Ответ: $\sqrt{21}$