Номер 1.225, страница 60 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.225. Упростите выражение:

а) $\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}$;

б) $\sqrt{(3-\sqrt{7})^2}$;

в) $\sqrt{(3-2\sqrt{3})^2} + 3$;

г) $\sqrt{(4-3\sqrt{2})^2} - 3\sqrt{2}$.

Для решения всех пунктов используется основное свойство арифметического квадратного корня: $\sqrt{a^2} = |a|$.

а) $\sqrt{(2 - \sqrt{5})^2}$

Применим свойство $\sqrt{a^2} = |a|$:

$\sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} = |2 - \sqrt{5}|$.

Далее необходимо определить знак выражения под модулем. Для этого сравним числа $2$ и $\sqrt{5}$.

Представим $2$ в виде корня: $2 = \sqrt{4}$.

Сравниваем подкоренные выражения: так как $4 < 5$, то $\sqrt{4} < \sqrt{5}$, а значит $2 < \sqrt{5}$.

Следовательно, разность $2 - \sqrt{5}$ является отрицательным числом.

По определению модуля, если $x < 0$, то $|x| = -x$. Таким образом:

$|2 - \sqrt{5}| = -(2 - \sqrt{5}) = -2 + \sqrt{5} = \sqrt{5} - 2$.

Ответ: $\sqrt{5} - 2$.

б) $\sqrt{(3 - \sqrt{7})^2}$

Используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$:

$\sqrt{(3 - \sqrt{7})^2} = |3 - \sqrt{7}|$.

Определим знак выражения под модулем, сравнив $3$ и $\sqrt{7}$.

Представим $3$ в виде корня: $3 = \sqrt{9}$.

Сравниваем подкоренные выражения: так как $9 > 7$, то $\sqrt{9} > \sqrt{7}$, а значит $3 > \sqrt{7}$.

Следовательно, разность $3 - \sqrt{7}$ является положительным числом.

По определению модуля, если $x > 0$, то $|x| = x$. Таким образом:

$|3 - \sqrt{7}| = 3 - \sqrt{7}$.

Ответ: $3 - \sqrt{7}$.

в) $\sqrt{(3 - 2\sqrt{3})^2} + 3$

Сначала упростим член, содержащий корень, применив свойство $\sqrt{a^2} = |a|$:

$\sqrt{(3 - 2\sqrt{3})^2} = |3 - 2\sqrt{3}|$.

Определим знак выражения в модуле. Сравним $3$ и $2\sqrt{3}$. Для этого сравним их квадраты:

$3^2 = 9$

$(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$.

Так как $9 < 12$, то $3 < 2\sqrt{3}$.

Следовательно, разность $3 - 2\sqrt{3}$ является отрицательным числом.

Раскрываем модуль: $|3 - 2\sqrt{3}| = -(3 - 2\sqrt{3}) = -3 + 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3} - 3$.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$(2\sqrt{3} - 3) + 3 = 2\sqrt{3} - 3 + 3 = 2\sqrt{3}$.

Ответ: $2\sqrt{3}$.

г) $\sqrt{(4 - 3\sqrt{2})^2} - 3\sqrt{2}$

Упростим выражение под корнем, используя $\sqrt{a^2} = |a|$:

$\sqrt{(4 - 3\sqrt{2})^2} = |4 - 3\sqrt{2}|$.

Определим знак выражения в модуле. Сравним $4$ и $3\sqrt{2}$. Сравним их квадраты:

$4^2 = 16$

$(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$.

Так как $16 < 18$, то $4 < 3\sqrt{2}$.

Следовательно, разность $4 - 3\sqrt{2}$ является отрицательным числом.

Раскрываем модуль: $|4 - 3\sqrt{2}| = -(4 - 3\sqrt{2}) = -4 + 3\sqrt{2} = 3\sqrt{2} - 4$.

Подставим полученное значение в исходное выражение:

$(3\sqrt{2} - 4) - 3\sqrt{2} = 3\sqrt{2} - 4 - 3\sqrt{2} = -4$.

Ответ: $-4$.