Номер 1.232, страница 61 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.232. Упростите выражение:

a) $\sqrt{28+16\sqrt{3}};

б) $\sqrt{17-12\sqrt{2}}.

а) Чтобы упростить выражение $\sqrt{28 + 16\sqrt{3}}$, представим подкоренное выражение в виде полного квадрата суммы, используя формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Нам нужно найти такие числа $a$ и $b$, для которых выполняются следующие условия:

• $a^2 + b^2 = 28$
• $2ab = 16\sqrt{3}$

Из второго уравнения находим, что $ab = 8\sqrt{3}$. Попробуем разложить $8\sqrt{3}$ на множители. Например, пусть $a=4$ и $b=2\sqrt{3}$.

Проверим, выполняется ли для этих значений первое уравнение:

$a^2 + b^2 = 4^2 + (2\sqrt{3})^2 = 16 + 4 \cdot 3 = 16 + 12 = 28$.

Условие выполняется. Следовательно, мы можем записать подкоренное выражение как квадрат суммы:

$28 + 16\sqrt{3} = (4 + 2\sqrt{3})^2$.

Теперь извлечем квадратный корень:

$\sqrt{28 + 16\sqrt{3}} = \sqrt{(4 + 2\sqrt{3})^2} = |4 + 2\sqrt{3}|$.

Поскольку оба слагаемых $4$ и $2\sqrt{3}$ положительны, их сумма также положительна, поэтому модуль можно опустить.

Ответ: $4 + 2\sqrt{3}$.

б) Чтобы упростить выражение $\sqrt{17 - 12\sqrt{2}}$, представим подкоренное выражение в виде полного квадрата разности, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Нам нужно найти такие числа $a$ и $b$, для которых выполняются следующие условия:

• $a^2 + b^2 = 17$
• $2ab = 12\sqrt{2}$

Из второго уравнения находим, что $ab = 6\sqrt{2}$. Попробуем разложить $6\sqrt{2}$ на множители. Например, пусть $a=3$ и $b=2\sqrt{2}$.

Проверим, выполняется ли для этих значений первое уравнение:

$a^2 + b^2 = 3^2 + (2\sqrt{2})^2 = 9 + 4 \cdot 2 = 9 + 8 = 17$.

Условие выполняется. Следовательно, мы можем записать подкоренное выражение как квадрат разности:

$17 - 12\sqrt{2} = (3 - 2\sqrt{2})^2$.

Теперь извлечем квадратный корень:

$\sqrt{17 - 12\sqrt{2}} = \sqrt{(3 - 2\sqrt{2})^2} = |3 - 2\sqrt{2}|$.

Чтобы раскрыть модуль, определим знак выражения $3 - 2\sqrt{2}$. Сравним числа $3$ и $2\sqrt{2}$ путем возведения их в квадрат:

$3^2 = 9$

$(2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$

Так как $9 > 8$, то $3 > 2\sqrt{2}$, и, следовательно, разность $3 - 2\sqrt{2}$ положительна. Модуль можно опустить.

Ответ: $3 - 2\sqrt{2}$.