Номер 1.237, страница 61 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.237. Сократите дробь $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}+2}{\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6}+\sqrt{8}+4}$

Для сокращения дроби преобразуем её знаменатель. Обозначим исходную дробь как $F$.

Исходная дробь:

$$ F = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3} + 2}{\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{6} + \sqrt{8} + 4} $$

Рассмотрим знаменатель $D = \sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{6} + \sqrt{8} + 4$.

Упростим член $\sqrt{8}$:

$$ \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} $$

Подставим это обратно в выражение для знаменателя:

$$ D = \sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{6} + 2\sqrt{2} + 4 $$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$$ D = (\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) - \sqrt{3} - \sqrt{6} + 4 = 3\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{6} + 4 $$

Теперь попытаемся разложить знаменатель на множители. Заметим, что числитель $N = \sqrt{2} - \sqrt{3} + 2$ может быть одним из множителей. Попробуем выделить числитель в выражении знаменателя. Для этого представим знаменатель в виде суммы:

$$ D = (3\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{6} + 4) = (\sqrt{2} - \sqrt{3} + 2) + (2\sqrt{2} - \sqrt{6} + 2) $$

Проверим, что это равенство верно, раскрыв скобки в правой части:

$$ (\sqrt{2} - \sqrt{3} + 2) + (2\sqrt{2} - \sqrt{6} + 2) = \sqrt{2} - \sqrt{3} + 2 + 2\sqrt{2} - \sqrt{6} + 2 = 3\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{6} + 4 $$

Равенство верное. Теперь разложим на множители вторую группу слагаемых $(2\sqrt{2} - \sqrt{6} + 2)$, вынеся за скобки $\sqrt{2}$:

$$ 2\sqrt{2} - \sqrt{6} + 2 = 2\sqrt{2} - \sqrt{2}\sqrt{3} + (\sqrt{2})^2 = \sqrt{2}(2 - \sqrt{3} + \sqrt{2}) $$

Переставим слагаемые в скобках, чтобы они соответствовали числителю:

$$ \sqrt{2}(\sqrt{2} - \sqrt{3} + 2) $$

Таким образом, знаменатель можно представить в виде:

$$ D = (\sqrt{2} - \sqrt{3} + 2) + \sqrt{2}(\sqrt{2} - \sqrt{3} + 2) $$

Вынесем общий множитель $(\sqrt{2} - \sqrt{3} + 2)$ за скобки:

$$ D = (\sqrt{2} - \sqrt{3} + 2)(1 + \sqrt{2}) $$

Теперь подставим разложенный знаменатель обратно в исходную дробь:

$$ F = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3} + 2}{(\sqrt{2} - \sqrt{3} + 2)(1 + \sqrt{2})} $$

Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{2} - \sqrt{3} + 2)$:

$$ F = \frac{1}{1 + \sqrt{2}} $$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2} - 1)$:

$$ F = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} \cdot \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{1} = \sqrt{2} - 1 $$

Ответ: $\sqrt{2} - 1$.