Номер 1.243, страница 62 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.243. Вынесите множитель за знак корня:

а) $\sqrt{2x^3}$;

б) $\sqrt{-y^3}$;

в) $\sqrt{a^5b^4}$.

Чтобы вынести множитель за знак корня, необходимо разложить подкоренное выражение на множители таким образом, чтобы среди них были полные квадраты. Затем применяется свойство корня из произведения $\sqrt{A \cdot B} = \sqrt{A} \cdot \sqrt{B}$ (для неотрицательных $A$ и $B$) и основное тождество $\sqrt{C^2} = |C|$.

а) Дано выражение $\sqrt{2x^3}$.

1. Определим область допустимых значений. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $2x^3 \ge 0$, откуда следует $x^3 \ge 0$, то есть $x \ge 0$.

2. Разложим подкоренное выражение на множители, выделяя полный квадрат:

$2x^3 = x^2 \cdot 2x$

3. Применим свойство корня:

$\sqrt{2x^3} = \sqrt{x^2 \cdot 2x} = \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{2x}$

4. Упростим, используя $\sqrt{x^2} = |x|$. Поскольку из области определения мы знаем, что $x \ge 0$, то $|x| = x$.

$\sqrt{2x^3} = x\sqrt{2x}$

Ответ: $x\sqrt{2x}$

б) Дано выражение $\sqrt{-y^3}$.

1. Определим область допустимых значений. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-y^3 \ge 0$. Умножив обе части на -1, получим $y^3 \le 0$, что означает $y \le 0$.

2. Разложим подкоренное выражение на множители:

$-y^3 = y^2 \cdot (-y)$

Заметим, что при $y \le 0$, оба множителя неотрицательны: $y^2 \ge 0$ и $-y \ge 0$.

3. Применим свойство корня:

$\sqrt{-y^3} = \sqrt{y^2 \cdot (-y)} = \sqrt{y^2} \cdot \sqrt{-y}$

4. Упростим, используя $\sqrt{y^2} = |y|$. Поскольку из области определения мы знаем, что $y \le 0$, то $|y| = -y$.

$\sqrt{-y^3} = (-y)\sqrt{-y}$

Ответ: $-y\sqrt{-y}$

в) Дано выражение $\sqrt{a^5b^4}$.

1. Определим область допустимых значений. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $a^5b^4 \ge 0$. Множитель $b^4 = (b^2)^2$ всегда неотрицателен, поэтому знак всего выражения определяется знаком $a^5$. Значит, должно выполняться условие $a^5 \ge 0$, то есть $a \ge 0$. Переменная $b$ может быть любым действительным числом.

2. Разложим подкоренное выражение на множители, выделяя полные квадраты:

$a^5b^4 = a^4 \cdot b^4 \cdot a = (a^2)^2 \cdot (b^2)^2 \cdot a$

3. Применим свойство корня:

$\sqrt{a^5b^4} = \sqrt{a^4 \cdot b^4 \cdot a} = \sqrt{a^4} \cdot \sqrt{b^4} \cdot \sqrt{a}$

4. Упростим корни из полных квадратов:

$\sqrt{a^4} = \sqrt{(a^2)^2} = |a^2| = a^2$

$\sqrt{b^4} = \sqrt{(b^2)^2} = |b^2| = b^2$

5. Соберем выражение:

$\sqrt{a^5b^4} = a^2b^2\sqrt{a}$

Ответ: $a^2b^2\sqrt{a}$