Номер 1.240, страница 62 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.240. Вынесите множитель за знак корня:

a) $\sqrt{3b^2}$;

б) $\sqrt{18a^4}$;

в) $\sqrt{72k^4p^2}$;

г) $\sqrt{0.04xy^8z^6}$.

а) Чтобы вынести множитель за знак корня в выражении $\sqrt{3b^2}$, воспользуемся свойством корня из произведения: $\sqrt{a \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{c}$ (для $a \ge 0, c \ge 0$).
Выражение под корнем можно представить в виде произведения $3$ и $b^2$: $$ \sqrt{3b^2} = \sqrt{3 \cdot b^2} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{b^2} $$ По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{b^2} = |b|$ (модуль $b$), так как переменная $b$ может принимать как положительные, так и отрицательные значения, а результат извлечения корня должен быть неотрицательным.
Следовательно, получаем: $$ \sqrt{3b^2} = |b|\sqrt{3} $$ Ответ: $|b|\sqrt{3}$

б) Рассмотрим выражение $\sqrt{18a^4}$. Сначала разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы выделить полные квадраты.
Число 18 можно представить как произведение $9$ и $2$, где $9$ является полным квадратом ($9 = 3^2$).
Степень $a^4$ можно представить как квадрат выражения $a^2$, то есть $a^4 = (a^2)^2$.
Тогда выражение принимает вид: $$ \sqrt{18a^4} = \sqrt{9 \cdot 2 \cdot a^4} = \sqrt{3^2 \cdot (a^2)^2 \cdot 2} $$ Используя свойство корня из произведения, выносим множители из-под знака корня: $$ \sqrt{3^2 \cdot (a^2)^2 \cdot 2} = \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{(a^2)^2} \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot a^2 \cdot \sqrt{2} $$ Обратите внимание, что $\sqrt{(a^2)^2} = a^2$ (а не $|a^2|$), потому что выражение $a^2$ всегда неотрицательно.
Ответ: $3a^2\sqrt{2}$

в) Рассмотрим выражение $\sqrt{72k^4p^2}$. Разложим число 72 на множители: $72 = 36 \cdot 2$. Здесь $36$ является полным квадратом ($36 = 6^2$).
Степени переменных $k^4$ и $p^2$ представим в виде квадратов: $k^4 = (k^2)^2$ и $p^2 = (p)^2$.
Запишем подкоренное выражение в виде произведения полных квадратов и остальных множителей: $$ \sqrt{72k^4p^2} = \sqrt{36 \cdot 2 \cdot k^4 \cdot p^2} = \sqrt{6^2 \cdot (k^2)^2 \cdot p^2 \cdot 2} $$ Выносим множители за знак корня: $$ \sqrt{6^2} \cdot \sqrt{(k^2)^2} \cdot \sqrt{p^2} \cdot \sqrt{2} = 6 \cdot k^2 \cdot |p| \cdot \sqrt{2} $$ Здесь $\sqrt{p^2} = |p|$, так как $p$ может быть отрицательным. Выражение $k^2$ всегда неотрицательно, поэтому $\sqrt{(k^2)^2} = k^2$.
Ответ: $6k^2|p|\sqrt{2}$

г) Рассмотрим выражение $\sqrt{0,04xy^8z^6}$.
Для того чтобы корень имел смысл в действительных числах, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Так как $0,04 > 0$, $y^8 = (y^4)^2 \ge 0$ и $z^6 = (z^3)^2 \ge 0$, необходимо, чтобы $x \ge 0$.
Представим множители в виде полных квадратов:

• $0,04 = (0,2)^2$
• $y^8 = (y^4)^2$
• $z^6 = (z^3)^2$

Перепишем выражение: $$ \sqrt{0,04xy^8z^6} = \sqrt{(0,2)^2 \cdot (y^4)^2 \cdot (z^3)^2 \cdot x} $$ Выносим множители, являющиеся полными квадратами: $$ \sqrt{(0,2)^2} \cdot \sqrt{(y^4)^2} \cdot \sqrt{(z^3)^2} \cdot \sqrt{x} = 0,2 \cdot y^4 \cdot |z^3| \cdot \sqrt{x} $$ Здесь $\sqrt{(y^4)^2} = y^4$ (так как $y^4 \ge 0$), а $\sqrt{(z^3)^2} = |z^3|$ (так как $z^3$ может быть отрицательным, если $z < 0$). Множитель $x$ остается под корнем, так как его степень равна 1.
Ответ: $0,2y^4|z^3|\sqrt{x}$