Номер 1.245, страница 62 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.245. Внесите множитель под знак корня:

а) $2\sqrt{x}$;

б) $\frac{1}{5}\sqrt{50y}$;

в) $-6\sqrt{a}$;

г) $-\frac{1}{3}\sqrt{18b^5}$.

Чтобы внести множитель под знак корня, необходимо использовать следующие правила, которые зависят от знака множителя. Важно помнить, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

• Если множитель $c$ — неотрицательное число ($c \ge 0$), то его вносят под корень, возведя в квадрат: $c\sqrt{d} = \sqrt{c^2 d}$.
• Если множитель $c$ — отрицательное число ($c < 0$), то знак "минус" оставляют перед корнем, а под корень вносят модуль множителя (его положительное значение), возведенный в квадрат: $c\sqrt{d} = -\sqrt{|c|^2 d} = -\sqrt{c^2 d}$.

а) В выражении $2\sqrt{x}$ множитель 2 является положительным. Чтобы внести его под знак корня, возведем его в квадрат и умножим на подкоренное выражение. Подразумевается, что $x \ge 0$.

$2\sqrt{x} = \sqrt{2^2 \cdot x} = \sqrt{4x}$

Ответ: $\sqrt{4x}$.

б) В выражении $\frac{1}{5}\sqrt{50y}$ множитель $\frac{1}{5}$ является положительным. Внесем его под знак корня, возведя в квадрат. Подразумевается, что $y \ge 0$.

$\frac{1}{5}\sqrt{50y} = \sqrt{(\frac{1}{5})^2 \cdot 50y} = \sqrt{\frac{1}{25} \cdot 50y} = \sqrt{\frac{50y}{25}}$

Далее упростим подкоренное выражение. Сократим дробь $\frac{50}{25}$, в результате чего получается целое число 2.

$\sqrt{\frac{50y}{25}} = \sqrt{2y}$

Ответ: $\sqrt{2y}$.

в) В выражении $-6\sqrt{a}$ множитель -6 является отрицательным. Знак "минус" остается перед корнем, а под корень вносим положительное число 6, возведенное в квадрат. Подразумевается, что $a \ge 0$.

$-6\sqrt{a} = -\sqrt{6^2 \cdot a} = -\sqrt{36a}$

Ответ: $-\sqrt{36a}$.

г) В выражении $-\frac{1}{3}\sqrt{18b^5}$ множитель $-\frac{1}{3}$ является отрицательным. Оставляем знак "минус" перед корнем, а под корень вносим $\frac{1}{3}$ в квадрате. Подразумевается, что $18b^5 \ge 0$, что выполняется при $b \ge 0$.

$-\frac{1}{3}\sqrt{18b^5} = -\sqrt{(\frac{1}{3})^2 \cdot 18b^5} = -\sqrt{\frac{1}{9} \cdot 18b^5} = -\sqrt{\frac{18b^5}{9}}$

Упростим выражение под корнем. Сократим дробь $\frac{18}{9}$ и получим целое число 2.

$-\sqrt{\frac{18b^5}{9}} = -\sqrt{2b^5}$

Ответ: $-\sqrt{2b^5}$.