Номер 1.250, страница 63 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.250. Упростите выражение:

а) $8\sqrt{5} + \sqrt{125};$

б) $2\sqrt{24} - \sqrt{54};$

в) $3\sqrt{3} - \sqrt{12} + \sqrt{75};$

г) $5\sqrt{12} - 2\sqrt{27} - 3\sqrt{3};$

д) $\sqrt{300} - 4\sqrt{48} - \sqrt{75};$

е) $\sqrt{150} - \sqrt{6} - \sqrt{96}.$

а) Чтобы упростить выражение $8\sqrt{5} + \sqrt{125}$, необходимо привести слагаемые к подобному виду. Для этого вынесем множитель из-под знака корня в слагаемом $\sqrt{125}$.

Разложим подкоренное выражение 125 на множители так, чтобы один из них был точным квадратом:

$125 = 25 \cdot 5 = 5^2 \cdot 5$

Следовательно, $\sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{5} = 5\sqrt{5}$.

Теперь подставим полученное значение обратно в исходное выражение и выполним сложение:

$8\sqrt{5} + 5\sqrt{5} = (8+5)\sqrt{5} = 13\sqrt{5}$.

Ответ: $13\sqrt{5}$.

б) Чтобы упростить выражение $2\sqrt{24} - \sqrt{54}$, вынесем множители из-под знаков корней.

Упростим первый член $2\sqrt{24}$:

$24 = 4 \cdot 6 = 2^2 \cdot 6$.

$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$.

Таким образом, $2\sqrt{24} = 2 \cdot 2\sqrt{6} = 4\sqrt{6}$.

Упростим второй член $\sqrt{54}$:

$54 = 9 \cdot 6 = 3^2 \cdot 6$.

$\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = 3\sqrt{6}$.

Теперь подставим упрощенные значения в выражение и выполним вычитание:

$4\sqrt{6} - 3\sqrt{6} = (4-3)\sqrt{6} = \sqrt{6}$.

Ответ: $\sqrt{6}$.

в) Чтобы упростить выражение $3\sqrt{3} - \sqrt{12} + \sqrt{75}$, вынесем множители из-под знаков корней $\sqrt{12}$ и $\sqrt{75}$.

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.

$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$.

Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = (3-2+5)\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$.

Ответ: $6\sqrt{3}$.

г) Чтобы упростить выражение $5\sqrt{12} - 2\sqrt{27} - 3\sqrt{3}$, вынесем множители из-под знаков корней $\sqrt{12}$ и $\sqrt{27}$.

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$.

Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$5 \cdot (2\sqrt{3}) - 2 \cdot (3\sqrt{3}) - 3\sqrt{3} = 10\sqrt{3} - 6\sqrt{3} - 3\sqrt{3}$.

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(10-6-3)\sqrt{3} = (4-3)\sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

д) Чтобы упростить выражение $\sqrt{300} - 4\sqrt{48} - \sqrt{75}$, вынесем множители из-под каждого знака корня.

$\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}$.

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$.

$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$.

Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$10\sqrt{3} - 4 \cdot (4\sqrt{3}) - 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3} - 16\sqrt{3} - 5\sqrt{3}$.

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(10-16-5)\sqrt{3} = (-6-5)\sqrt{3} = -11\sqrt{3}$.

Ответ: $-11\sqrt{3}$.

е) Чтобы упростить выражение $\sqrt{150} - \sqrt{6} - \sqrt{96}$, вынесем множители из-под знаков корней $\sqrt{150}$ и $\sqrt{96}$.

$\sqrt{150} = \sqrt{25 \cdot 6} = 5\sqrt{6}$.

$\sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6}$.

Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$5\sqrt{6} - \sqrt{6} - 4\sqrt{6}$.

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(5-1-4)\sqrt{6} = (4-4)\sqrt{6} = 0\sqrt{6} = 0$.

Ответ: $0$.