Номер 1.256, страница 63 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.256. Периметр прямоугольника равен 12 см, а длина одной из его сторон равна $(\sqrt{3} + 1)$ см. Найдите площадь прямоугольника.

Обозначим стороны прямоугольника как $a$ и $b$. Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$.

По условию задачи, периметр $P = 12$ см, а одна из сторон, пусть это будет $a$, равна $a = (\sqrt{3} + 1)$ см.

1. Найдем длину второй стороны прямоугольника.

Сначала найдем полупериметр (сумму длин двух смежных сторон), разделив периметр на 2:$$ a + b = \frac{P}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ см} $$Теперь, зная одну сторону $a$, можем найти вторую сторону $b$:$$ b = 6 - a = 6 - (\sqrt{3} + 1) = 6 - \sqrt{3} - 1 = (5 - \sqrt{3}) \text{ см} $$

2. Найдем площадь прямоугольника.

Подставим значения сторон $a$ и $b$ в формулу площади:$$ S = a \cdot b = (\sqrt{3} + 1) \cdot (5 - \sqrt{3}) $$Раскроем скобки, умножив каждый член первой скобки на каждый член второй:$$ S = \sqrt{3} \cdot 5 + \sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}) + 1 \cdot 5 + 1 \cdot (-\sqrt{3}) $$$$ S = 5\sqrt{3} - (\sqrt{3})^2 + 5 - \sqrt{3} $$$$ S = 5\sqrt{3} - 3 + 5 - \sqrt{3} $$Сгруппируем и упростим подобные слагаемые:$$ S = (5\sqrt{3} - \sqrt{3}) + (5 - 3) = 4\sqrt{3} + 2 $$

Найдите площадь прямоугольника. Ответ: Площадь прямоугольника равна $(4\sqrt{3} + 2)$ см².