Номер 1.258, страница 64 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.258. Примените формулу квадрата суммы (квадрата разности) и упростите выражение:

а) $(\sqrt{2}+3)^2$;

б) $(3\sqrt{3}-1)^2$;

в) $(\sqrt{6}+\sqrt{11})^2$;

г) $(5\sqrt{6}-\sqrt{3})^2$;

д) $(\sqrt{12.5}+\sqrt{2})^2$;

е) $(\sqrt{24.5}-\sqrt{2})^2$.

Для решения данных задач используются формулы квадрата суммы и квадрата разности:

• Формула квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Формула квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

а) Применяем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(\sqrt{2} + 3)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 3 + 3^2 = 2 + 6\sqrt{2} + 9 = 11 + 6\sqrt{2}$.
Ответ: $11 + 6\sqrt{2}$.

б) Применяем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(3\sqrt{3} - 1)^2 = (3\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 3\sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = (3^2 \cdot (\sqrt{3})^2) - 6\sqrt{3} + 1 = (9 \cdot 3) - 6\sqrt{3} + 1 = 27 - 6\sqrt{3} + 1 = 28 - 6\sqrt{3}$.
Ответ: $28 - 6\sqrt{3}$.

в) Применяем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(\sqrt{6} + \sqrt{11})^2 = (\sqrt{6})^2 + 2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{11} + (\sqrt{11})^2 = 6 + 2\sqrt{6 \cdot 11} + 11 = 6 + 2\sqrt{66} + 11 = 17 + 2\sqrt{66}$.
Ответ: $17 + 2\sqrt{66}$.

г) Применяем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(5\sqrt{6} - \sqrt{3})^2 = (5\sqrt{6})^2 - 2 \cdot 5\sqrt{6} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (25 \cdot 6) - 10\sqrt{6 \cdot 3} + 3 = 150 - 10\sqrt{18} + 3 = 153 - 10\sqrt{9 \cdot 2} = 153 - 10 \cdot 3\sqrt{2} = 153 - 30\sqrt{2}$.
Ответ: $153 - 30\sqrt{2}$.

д) Применяем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(\sqrt{12,5} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{12,5})^2 + 2 \cdot \sqrt{12,5} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 12,5 + 2\sqrt{12,5 \cdot 2} + 2 = 14,5 + 2\sqrt{25} = 14,5 + 2 \cdot 5 = 14,5 + 10 = 24,5$.
Чтобы выделить целую часть, представим десятичную дробь $24,5$ в виде смешанного числа: $24\frac{1}{2}$.
Ответ: $24\frac{1}{2}$.

е) Применяем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(\sqrt{24,5} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{24,5})^2 - 2 \cdot \sqrt{24,5} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 24,5 - 2\sqrt{24,5 \cdot 2} + 2 = 26,5 - 2\sqrt{49} = 26,5 - 2 \cdot 7 = 26,5 - 14 = 12,5$.
Чтобы выделить целую часть, представим десятичную дробь $12,5$ в виде смешанного числа: $12\frac{1}{2}$.
Ответ: $12\frac{1}{2}$.