Номер 1.260, страница 64 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.260. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) $\frac{12}{\sqrt{3}}$;

б) $\frac{7}{\sqrt{21}}$;

в) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$;

г) $-\frac{8}{5\sqrt{2}}$.

a) Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{12}{\sqrt{3}} $, необходимо умножить числитель и знаменатель этой дроби на $ \sqrt{3} $. Это основной метод рационализации знаменателя, содержащего квадратный корень.
Выполним умножение:
$ \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{12\sqrt{3}}{3} $
Теперь сократим полученную дробь, разделив 12 на 3:
$ \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} $
Ответ: $ 4\sqrt{3} $

б) Умножим числитель и знаменатель дроби $ \frac{7}{\sqrt{21}} $ на $ \sqrt{21} $, чтобы в знаменателе получилось рациональное число:
$ \frac{7}{\sqrt{21}} = \frac{7 \cdot \sqrt{21}}{\sqrt{21} \cdot \sqrt{21}} = \frac{7\sqrt{21}}{21} $
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 7:
$ \frac{7\sqrt{21}}{21} = \frac{\sqrt{21}}{3} $
Ответ: $ \frac{\sqrt{21}}{3} $

в) В данном случае, $ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} $, мы также умножаем числитель и знаменатель на иррациональный знаменатель, то есть на $ \sqrt{6} $:
$ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 6}}{6} = \frac{\sqrt{12}}{6} $
Далее, упростим корень в числителе. Число 12 можно представить как произведение $ 4 \cdot 3 $, где 4 является полным квадратом:
$ \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} $
Подставим это значение обратно в дробь и выполним сокращение на 2:
$ \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} $
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{3} $

г) Для дроби $ -\frac{8}{5\sqrt{2}} $ иррациональной частью знаменателя является $ \sqrt{2} $. Умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $:
$ -\frac{8}{5\sqrt{2}} = -\frac{8 \cdot \sqrt{2}}{5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = -\frac{8\sqrt{2}}{5 \cdot (\sqrt{2})^2} = -\frac{8\sqrt{2}}{5 \cdot 2} = -\frac{8\sqrt{2}}{10} $
Сократим полученную дробь на 2:
$ -\frac{8\sqrt{2}}{10} = -\frac{4\sqrt{2}}{5} $
Ответ: $ -\frac{4\sqrt{2}}{5} $