Номер 1.264, страница 64 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.264. Докажите, что значение выражения $ \frac{5}{2\sqrt{3}-3} - \frac{5}{2\sqrt{3}+3} $ является рациональным числом.

Чтобы доказать, что значение выражения является рациональным числом, необходимо его упростить и показать, что результат можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — целые числа, и $q \neq 0$.

Исходное выражение:

$$ \frac{5}{2\sqrt{3}-3} - \frac{5}{2\sqrt{3}+3} $$

Для выполнения вычитания приведем дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем является произведение их знаменателей: $(2\sqrt{3}-3)(2\sqrt{3}+3)$.

Воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ для вычисления знаменателя:

$$ (2\sqrt{3}-3)(2\sqrt{3}+3) = (2\sqrt{3})^2 - 3^2 = 4 \cdot 3 - 9 = 12 - 9 = 3 $$

Теперь приведем дроби к общему знаменателю 3:

$$ \frac{5(2\sqrt{3}+3)}{(2\sqrt{3}-3)(2\sqrt{3}+3)} - \frac{5(2\sqrt{3}-3)}{(2\sqrt{3}+3)(2\sqrt{3}-3)} = \frac{5(2\sqrt{3}+3) - 5(2\sqrt{3}-3)}{3} $$

Раскроем скобки в числителе и упростим его:

$$ 5(2\sqrt{3}+3) - 5(2\sqrt{3}-3) = (10\sqrt{3} + 15) - (10\sqrt{3} - 15) = 10\sqrt{3} + 15 - 10\sqrt{3} + 15 = 30 $$

Подставим полученное значение числителя обратно в выражение:

$$ \frac{30}{3} = 10 $$

В результате вычислений мы получили число 10. Число 10 является целым, а любое целое число является рациональным (поскольку его можно представить в виде дроби, например, $\frac{10}{1}$). Таким образом, доказано, что значение исходного выражения является рациональным числом.

Ответ: 10.