Номер 1.270, страница 65 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.270. Найдите значение выражения:

a) $\sqrt{8 + 2\sqrt{7}} - \sqrt{8 - 2\sqrt{7}};$

б) $\sqrt{28 - 10\sqrt{3}} + \sqrt{28 + 10\sqrt{3}}.$

а) Для нахождения значения выражения $\sqrt{8+2\sqrt{7}}-\sqrt{8-2\sqrt{7}}$ воспользуемся методом выделения полного квадрата под корнем, используя формулы $(a \pm b)^2 = a^2 + b^2 \pm 2ab$.

Сначала преобразуем подкоренное выражение $8+2\sqrt{7}$. Нам нужно найти такие числа $a$ и $b$, что $a^2+b^2=8$ и $2ab=2\sqrt{7}$ (откуда $ab=\sqrt{7}$). Методом подбора легко найти, что $a=\sqrt{7}$ и $b=1$.
Проверим: $a^2+b^2 = (\sqrt{7})^2+1^2 = 7+1=8$.
Следовательно, $8+2\sqrt{7} = (\sqrt{7}+1)^2$.

Аналогично преобразуем второе подкоренное выражение $8-2\sqrt{7}$. Используя те же $a$ и $b$, получаем:
$8-2\sqrt{7} = (\sqrt{7}-1)^2$.

Теперь подставим полученные полные квадраты в исходное выражение:
$\sqrt{8+2\sqrt{7}}-\sqrt{8-2\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7}+1)^2} - \sqrt{(\sqrt{7}-1)^2}$

Используя свойство корня $\sqrt{x^2}=|x|$, получаем:
$|\sqrt{7}+1| - |\sqrt{7}-1|$
Так как $\sqrt{7} > 1$, то оба выражения в модулях положительны ($\sqrt{7}+1>0$ и $\sqrt{7}-1>0$), поэтому знаки модуля можно опустить:
$(\sqrt{7}+1) - (\sqrt{7}-1) = \sqrt{7}+1-\sqrt{7}+1 = 2$.
Ответ: 2

б) Для нахождения значения выражения $\sqrt{28-10\sqrt{3}}+\sqrt{28+10\sqrt{3}}$ применим тот же метод.

Рассмотрим подкоренное выражение $28-10\sqrt{3}$. Ищем такие $a$ и $b$, что $a^2+b^2=28$ и $2ab=10\sqrt{3}$ (откуда $ab=5\sqrt{3}$). Подходящими значениями являются $a=5$ и $b=\sqrt{3}$.
Проверим: $a^2+b^2=5^2+(\sqrt{3})^2=25+3=28$.
Следовательно, $28-10\sqrt{3} = (5-\sqrt{3})^2$.

Аналогично для выражения $28+10\sqrt{3}$:
$28+10\sqrt{3} = (5+\sqrt{3})^2$.

Подставим полученные результаты в исходное выражение:
$\sqrt{28-10\sqrt{3}}+\sqrt{28+10\sqrt{3}} = \sqrt{(5-\sqrt{3})^2} + \sqrt{(5+\sqrt{3})^2}$

Используя свойство $\sqrt{x^2}=|x|$, получаем:
$|5-\sqrt{3}| + |5+\sqrt{3}|$
Так как $5 > \sqrt{3}$ (поскольку $5^2=25$, а $(\sqrt{3})^2=3$), оба выражения в модулях положительны, и знаки модуля можно опустить:
$(5-\sqrt{3}) + (5+\sqrt{3}) = 5-\sqrt{3}+5+\sqrt{3} = 10$.
Ответ: 10