Номер 1.268, страница 65 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.268. Упростите выражение:

a) $\sqrt{(1 - \sqrt{3})^2}$;

б) $\sqrt{(2 - \sqrt{5})^2}$;

в) $\sqrt{(4 - 3\sqrt{2})^2} - 4$;

г) $\sqrt{(5 - \sqrt{7})^2} - \sqrt{(3 - \sqrt{7})^2}$.

а) Для упрощения выражения $\sqrt{(1-\sqrt{3})^2}$ используется тождество $\sqrt{a^2}=|a|$. Таким образом, $\sqrt{(1-\sqrt{3})^2} = |1-\sqrt{3}|$. Чтобы раскрыть модуль, необходимо определить знак подмодульного выражения. Сравним $1$ и $\sqrt{3}$. Так как $1^2=1$, а $(\sqrt{3})^2=3$, и $1<3$, то $1<\sqrt{3}$. Следовательно, выражение $1-\sqrt{3}$ является отрицательным. По определению модуля для отрицательных чисел, $|x|=-x$, получаем: $|1-\sqrt{3}| = -(1-\sqrt{3}) = \sqrt{3}-1$.
Ответ: $\sqrt{3}-1$.

б) Упростим $\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}$. По тождеству $\sqrt{a^2}=|a|$, имеем $\sqrt{(2-\sqrt{5})^2} = |2-\sqrt{5}|$. Сравним $2$ и $\sqrt{5}$ путем возведения в квадрат: $2^2=4$ и $(\sqrt{5})^2=5$. Так как $4<5$, то $2<\sqrt{5}$, значит разность $2-\sqrt{5}$ отрицательна. Раскрываем модуль: $|2-\sqrt{5}| = -(2-\sqrt{5}) = \sqrt{5}-2$.
Ответ: $\sqrt{5}-2$.

в) Упростим выражение $\sqrt{(4-3\sqrt{2})^2} - 4$. Сначала разберемся с корнем: $\sqrt{(4-3\sqrt{2})^2} = |4-3\sqrt{2}|$. Определим знак выражения $4-3\sqrt{2}$, сравнив квадраты чисел $4$ и $3\sqrt{2}$: $4^2=16$ и $(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$. Поскольку $16<18$, то $4<3\sqrt{2}$, и разность $4-3\sqrt{2}$ отрицательна. Следовательно, $|4-3\sqrt{2}| = -(4-3\sqrt{2}) = 3\sqrt{2}-4$. Теперь подставим результат в исходное выражение: $(3\sqrt{2}-4) - 4 = 3\sqrt{2}-8$.
Ответ: $3\sqrt{2}-8$.

г) Рассмотрим выражение $\sqrt{(5-\sqrt{7})^2} - \sqrt{(3-\sqrt{7})^2}$. Упростим каждый корень по отдельности, используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$.
Первый корень: $\sqrt{(5-\sqrt{7})^2} = |5-\sqrt{7}|$. Сравним $5$ и $\sqrt{7}$: $5^2=25$, $(\sqrt{7})^2=7$. Так как $25>7$, то $5>\sqrt{7}$, и выражение $5-\sqrt{7}$ положительное. Значит, $|5-\sqrt{7}| = 5-\sqrt{7}$.
Второй корень: $\sqrt{(3-\sqrt{7})^2} = |3-\sqrt{7}|$. Сравним $3$ и $\sqrt{7}$: $3^2=9$, $(\sqrt{7})^2=7$. Так как $9>7$, то $3>\sqrt{7}$, и выражение $3-\sqrt{7}$ положительное. Значит, $|3-\sqrt{7}| = 3-\sqrt{7}$.
Подставляем упрощенные выражения обратно и вычисляем разность:
$(5-\sqrt{7}) - (3-\sqrt{7}) = 5-\sqrt{7}-3+\sqrt{7} = (5-3) + (-\sqrt{7}+\sqrt{7}) = 2$.
Ответ: 2.