Номер 1.269, страница 65 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.269. Упростите выражение:

a) $\sqrt{4+2\sqrt{3}};$

б) $\sqrt{11-4\sqrt{7}};$

в) $\sqrt{7-2\sqrt{10}}.$

a) Для упрощения выражений вида $\sqrt{A \pm \sqrt{B}}$ часто используется формула "сложного радикала" или метод выделения полного квадрата под корнем, основанный на формулах квадрата суммы или разности: $(x \pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2$. Применительно к нашему случаю, мы будем использовать формулу $(\sqrt{x} \pm \sqrt{y})^2 = x+y \pm 2\sqrt{xy}$.

Рассмотрим выражение $\sqrt{4+2\sqrt{3}}$. Оно уже представлено в виде $\sqrt{A+2\sqrt{C}}$. Нам нужно найти два числа $x$ и $y$, такие что их сумма $x+y=4$, а их произведение $xy=3$.
Методом подбора легко найти эти числа: $x=3$ и $y=1$.
Теперь мы можем переписать подкоренное выражение как полный квадрат:
$4+2\sqrt{3} = 3+1+2\sqrt{3 \cdot 1} = (\sqrt{3})^2 + 2\cdot\sqrt{3}\cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{3}+1)^2$.
Извлекаем квадратный корень:
$\sqrt{4+2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} = |\sqrt{3}+1|$.
Так как $\sqrt{3}+1$ — положительное число, модуль можно опустить.
Ответ: $1+\sqrt{3}$.

б) Рассмотрим выражение $\sqrt{11-4\sqrt{7}}$.
Сначала приведем его к виду $\sqrt{A \pm 2\sqrt{C}}$, чтобы применить ту же методику. Для этого представим $4\sqrt{7}$ как $2 \cdot 2\sqrt{7}$ и внесем двойку под знак корня:
$4\sqrt{7} = 2 \cdot 2\sqrt{7} = 2\sqrt{2^2 \cdot 7} = 2\sqrt{28}$.
Теперь выражение имеет вид $\sqrt{11-2\sqrt{28}}$.
Ищем два числа $x$ и $y$, такие что $x+y=11$ и $xy=28$.
Этими числами являются $x=7$ и $y=4$.
Представим подкоренное выражение в виде полного квадрата разности:
$11-2\sqrt{28} = 7+4-2\sqrt{7 \cdot 4} = (\sqrt{7})^2 - 2\cdot\sqrt{7}\cdot\sqrt{4} + (\sqrt{4})^2 = (\sqrt{7}-2)^2$.
Извлекаем квадратный корень:
$\sqrt{11-4\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7}-2)^2} = |\sqrt{7}-2|$.
Чтобы раскрыть модуль, сравним $\sqrt{7}$ и $2$. Так как $7>4$, то $\sqrt{7}>\sqrt{4}$, следовательно $\sqrt{7}>2$. Значит, разность $\sqrt{7}-2$ положительна.
$|\sqrt{7}-2| = \sqrt{7}-2$.
Ответ: $\sqrt{7}-2$.

в) Рассмотрим выражение $\sqrt{7-2\sqrt{10}}$.
Это выражение уже имеет вид $\sqrt{A-2\sqrt{C}}$. Ищем два числа $x$ и $y$, для которых $x+y=7$ и $xy=10$.
Подбором находим, что $x=5$ и $y=2$.
Представим подкоренное выражение как полный квадрат разности:
$7-2\sqrt{10} = 5+2-2\sqrt{5 \cdot 2} = (\sqrt{5})^2 - 2\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{5}-\sqrt{2})^2$.
Извлекаем квадратный корень:
$\sqrt{7-2\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2} = |\sqrt{5}-\sqrt{2}|$.
Чтобы раскрыть модуль, сравним $\sqrt{5}$ и $\sqrt{2}$. Так как $5>2$, то $\sqrt{5}>\sqrt{2}$, и разность $\sqrt{5}-\sqrt{2}$ положительна.
$|\sqrt{5}-\sqrt{2}| = \sqrt{5}-\sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{5}-\sqrt{2}$.