Номер 1.265, страница 64 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.265. Разложите на множители:

а) $\sqrt{7}+7;$

б) $\sqrt{2}-2;$

в) $7\sqrt{5}+5;$

г) $\sqrt{14}-\sqrt{2}.$

Чтобы разложить на множители данные выражения, необходимо найти общий множитель и вынести его за скобки. Для этого будем использовать свойство квадратного корня, согласно которому любое неотрицательное число $a$ можно представить в виде $a = (\sqrt{a})^2$.

а) В выражении $\sqrt{7} + 7$ представим число $7$ как $(\sqrt{7})^2$.

$\sqrt{7} + 7 = \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = \sqrt{7} \cdot 1 + \sqrt{7} \cdot \sqrt{7}$

Общим множителем является $\sqrt{7}$. Вынесем его за скобки:

$\sqrt{7}(1 + \sqrt{7})$

Ответ: $\sqrt{7}(1 + \sqrt{7})$

б) В выражении $\sqrt{2} - 2$ представим число $2$ как $(\sqrt{2})^2$.

$\sqrt{2} - 2 = \sqrt{2} - (\sqrt{2})^2 = \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$

Вынесем общий множитель $\sqrt{2}$ за скобки:

$\sqrt{2}(1 - \sqrt{2})$

Ответ: $\sqrt{2}(1 - \sqrt{2})$

в) В выражении $7\sqrt{5} + 5$ представим число $5$ как $(\sqrt{5})^2$.

$7\sqrt{5} + 5 = 7\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 7 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}$

Вынесем общий множитель $\sqrt{5}$ за скобки:

$\sqrt{5}(7 + \sqrt{5})$

Ответ: $\sqrt{5}(7 + \sqrt{5})$

г) В выражении $\sqrt{14} - \sqrt{2}$ воспользуемся свойством корня $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$. Представим $\sqrt{14}$ как произведение корней.

$\sqrt{14} = \sqrt{7 \cdot 2} = \sqrt{7} \cdot \sqrt{2}$

Тогда исходное выражение примет вид:

$\sqrt{7} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{7} \cdot \sqrt{2} - 1 \cdot \sqrt{2}$

Общим множителем является $\sqrt{2}$. Вынесем его за скобки:

$\sqrt{2}(\sqrt{7} - 1)$

Ответ: $\sqrt{2}(\sqrt{7} - 1)$