Номер 1.267, страница 64 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.267. Сократите дроби:

a) $\frac{(\sqrt{5}-1)^2}{3-\sqrt{5}};

б) $\frac{12+6\sqrt{3}}{(1+\sqrt{3})^2};

В) $\frac{(1-2\sqrt{3})^2}{26-8\sqrt{3}}.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{(\sqrt{5}-1)^2}{3-\sqrt{5}}$, сначала раскроем скобки в числителе, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Числитель: $(\sqrt{5}-1)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 1 + 1^2 = 5 - 2\sqrt{5} + 1 = 6 - 2\sqrt{5}$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в дробь:

$\frac{6 - 2\sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}}$

Вынесем общий множитель 2 за скобки в числителе:

$6 - 2\sqrt{5} = 2(3 - \sqrt{5})$

Дробь примет вид:

$\frac{2(3 - \sqrt{5})}{3 - \sqrt{5}}$

Сократим общее выражение $(3 - \sqrt{5})$ в числителе и знаменателе:

$\frac{2\cancel{(3 - \sqrt{5})}}{\cancel{3 - \sqrt{5}}} = 2$

Ответ: 2

б) Рассмотрим дробь $\frac{12+6\sqrt{3}}{(1+\sqrt{3})^2}$.

Сначала раскроем скобки в знаменателе, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Знаменатель: $(1+\sqrt{3})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 = 4 + 2\sqrt{3}$.

Подставим полученное выражение в знаменатель дроби:

$\frac{12+6\sqrt{3}}{4+2\sqrt{3}}$

В числителе вынесем за скобки общий множитель 3:

$12+6\sqrt{3} = 3(4+2\sqrt{3})$

Теперь дробь выглядит так:

$\frac{3(4+2\sqrt{3})}{4+2\sqrt{3}}$

Сократим общее выражение $(4+2\sqrt{3})$ в числителе и знаменателе:

$\frac{3\cancel{(4+2\sqrt{3})}}{\cancel{4+2\sqrt{3}}} = 3$

Ответ: 3

в) Рассмотрим дробь $\frac{(1-2\sqrt{3})^2}{26-8\sqrt{3}}$.

Раскроем скобки в числителе по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Числитель: $(1-2\sqrt{3})^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2\sqrt{3} + (2\sqrt{3})^2 = 1 - 4\sqrt{3} + 4 \cdot 3 = 1 - 4\sqrt{3} + 12 = 13 - 4\sqrt{3}$.

Подставим полученное выражение в числитель дроби:

$\frac{13 - 4\sqrt{3}}{26 - 8\sqrt{3}}$

Вынесем общий множитель 2 за скобки в знаменателе:

$26 - 8\sqrt{3} = 2(13 - 4\sqrt{3})$

Дробь примет вид:

$\frac{13 - 4\sqrt{3}}{2(13 - 4\sqrt{3})}$

Сократим общее выражение $(13 - 4\sqrt{3})$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{13 - 4\sqrt{3}}}{2\cancel{(13 - 4\sqrt{3})}} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$