Номер 1.263, страница 64 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.263. Найдите значение выражения:

а) $ \frac{8}{\sqrt{11}-3} + \frac{10}{3+\sqrt{11}} $;

б) $ \frac{3}{1-\sqrt{7}} - \frac{1}{\sqrt{7}+3} $;

в) $ \frac{4}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} - \frac{6}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} $;

г) $ \frac{10}{\sqrt{7}+\sqrt{2}} - \frac{5}{\sqrt{7}-\sqrt{2}} $.

а)Для того чтобы найти значение выражения, мы приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатели $\sqrt{11}-3$ и $3+\sqrt{11}$ (что то же самое, что и $\sqrt{11}+3$) являются сопряженными выражениями.

Выражение: $\frac{8}{\sqrt{11}-3} + \frac{10}{3+\sqrt{11}}$

Общий знаменатель равен произведению знаменателей:$(\sqrt{11}-3)(3+\sqrt{11}) = (\sqrt{11}-3)(\sqrt{11}+3) = (\sqrt{11})^2 - 3^2 = 11-9 = 2$.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним сложение:

$\frac{8(3+\sqrt{11}) + 10(\sqrt{11}-3)}{(\sqrt{11}-3)(3+\sqrt{11})} = \frac{24 + 8\sqrt{11} + 10\sqrt{11} - 30}{2} = \frac{18\sqrt{11} - 6}{2} = 9\sqrt{11} - 3$.

Ответ: $9\sqrt{11} - 3$.

б)Чтобы найти значение выражения, упростим каждую дробь отдельно, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на выражение, сопряженное ее знаменателю.

Выражение: $\frac{3}{1-\sqrt{7}} - \frac{1}{\sqrt{7}+3}$

Упростим первую дробь. Сопряженное к $1-\sqrt{7}$ есть $1+\sqrt{7}$:$\frac{3}{1-\sqrt{7}} = \frac{3(1+\sqrt{7})}{(1-\sqrt{7})(1+\sqrt{7})} = \frac{3(1+\sqrt{7})}{1^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{3(1+\sqrt{7})}{1-7} = \frac{3(1+\sqrt{7})}{-6} = -\frac{1+\sqrt{7}}{2}$.

Упростим вторую дробь. Сопряженное к $\sqrt{7}+3$ есть $\sqrt{7}-3$:$\frac{1}{\sqrt{7}+3} = \frac{1(\sqrt{7}-3)}{(\sqrt{7}+3)(\sqrt{7}-3)} = \frac{\sqrt{7}-3}{(\sqrt{7})^2 - 3^2} = \frac{\sqrt{7}-3}{7-9} = \frac{\sqrt{7}-3}{-2} = \frac{3-\sqrt{7}}{2}$.

Теперь выполним вычитание полученных выражений:$-\frac{1+\sqrt{7}}{2} - \frac{3-\sqrt{7}}{2} = \frac{-(1+\sqrt{7}) - (3-\sqrt{7})}{2} = \frac{-1-\sqrt{7}-3+\sqrt{7}}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Ответ: -2.

в)Упростим каждую дробь отдельно, избавившись от иррациональности в знаменателе.

Выражение: $\frac{4}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} - \frac{6}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$

Упростим первую дробь. Сопряженное к $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ есть $\sqrt{5}+\sqrt{3}$:$\frac{4}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{4(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{4(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3} = \frac{4(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{2} = 2(\sqrt{5}+\sqrt{3}) = 2\sqrt{5}+2\sqrt{3}$.

Упростим вторую дробь. Сопряженное к $\sqrt{5}+\sqrt{2}$ есть $\sqrt{5}-\sqrt{2}$:$\frac{6}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} = \frac{6(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})} = \frac{6(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{5-2} = \frac{6(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{3} = 2(\sqrt{5}-\sqrt{2}) = 2\sqrt{5}-2\sqrt{2}$.

Выполним вычитание:$(2\sqrt{5}+2\sqrt{3}) - (2\sqrt{5}-2\sqrt{2}) = 2\sqrt{5}+2\sqrt{3} - 2\sqrt{5}+2\sqrt{2} = 2\sqrt{3}+2\sqrt{2}$.

Ответ: $2\sqrt{3}+2\sqrt{2}$.

г)Знаменатели дробей $\sqrt{7}+\sqrt{2}$ и $\sqrt{7}-\sqrt{2}$ являются сопряженными выражениями. Приведем дроби к общему знаменателю.

Выражение: $\frac{10}{\sqrt{7}+\sqrt{2}} - \frac{5}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}$

Общий знаменатель: $(\sqrt{7}+\sqrt{2})(\sqrt{7}-\sqrt{2}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{2})^2 = 7-2=5$.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:$\frac{10(\sqrt{7}-\sqrt{2}) - 5(\sqrt{7}+\sqrt{2})}{5} = \frac{10\sqrt{7}-10\sqrt{2} - 5\sqrt{7}-5\sqrt{2}}{5} = \frac{(10\sqrt{7}-5\sqrt{7}) + (-10\sqrt{2}-5\sqrt{2})}{5} = \frac{5\sqrt{7}-15\sqrt{2}}{5} = \sqrt{7}-3\sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{7}-3\sqrt{2}$.