Номер 1.252, страница 63 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.252. Упростите выражение:

а) $(\sqrt{48} - \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3};$

б) $3\sqrt{5} \cdot (\sqrt{5} + \sqrt{20} - \sqrt{180});$

в) $(\sqrt{50} + \sqrt{18}) : \sqrt{2};$

г) $(\sqrt{63} + 5\sqrt{7} - \sqrt{28}) : (2\sqrt{7}).$

а) $(\sqrt{48} - \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}$

Чтобы упростить выражение, можно пойти двумя путями.

Способ 1: Раскрытие скобок.

Умножим каждый член в скобках на $\sqrt{3}$:

$(\sqrt{48} - \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = \sqrt{48} \cdot \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}$

Используем свойство произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$:

$\sqrt{48 \cdot 3} - \sqrt{3 \cdot 3} = \sqrt{144} - \sqrt{9}$

Вычисляем значения квадратных корней и находим разность:

$12 - 3 = 9$

Способ 2: Упрощение подкоренного выражения.

Сначала упростим $\sqrt{48}$, вынеся множитель из-под знака корня:

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$

Подставим это значение в исходное выражение:

$(4\sqrt{3} - \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}$

Выполним вычитание в скобках:

$(3\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = 3 \cdot 3 = 9$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 9

б) $3\sqrt{5} \cdot (\sqrt{5} + \sqrt{20} - \sqrt{180})$

Сначала упростим выражения с корнями внутри скобок, вынеся множители из-под знака корня так, чтобы под корнем осталось число 5:

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

$\sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{5} = 6\sqrt{5}$

Подставим упрощенные значения обратно в выражение:

$3\sqrt{5} \cdot (\sqrt{5} + 2\sqrt{5} - 6\sqrt{5})$

Теперь выполним сложение и вычитание подобных членов в скобках:

$\sqrt{5} + 2\sqrt{5} - 6\sqrt{5} = (1 + 2 - 6)\sqrt{5} = -3\sqrt{5}$

Наконец, выполним умножение:

$3\sqrt{5} \cdot (-3\sqrt{5}) = (3 \cdot -3) \cdot (\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}) = -9 \cdot 5 = -45$

Ответ: -45

в) $(\sqrt{50} + \sqrt{18}) : \sqrt{2}$

Как и в первом примере, здесь можно использовать два подхода.

Способ 1: Почленное деление.

Разделим каждый член в скобках на $\sqrt{2}$:

$(\sqrt{50} + \sqrt{18}) : \sqrt{2} = \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}$

Используем свойство частного корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$:

$\sqrt{\frac{50}{2}} + \sqrt{\frac{18}{2}} = \sqrt{25} + \sqrt{9}$

Вычисляем значения корней и находим сумму:

$5 + 3 = 8$

Способ 2: Упрощение подкоренных выражений.

Упростим корни в скобках:

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$

Подставим эти значения в выражение:

$(5\sqrt{2} + 3\sqrt{2}) : \sqrt{2}$

Сложим подобные члены в скобках:

$(8\sqrt{2}) : \sqrt{2} = 8$

Ответ: 8

г) $(\sqrt{63} + 5\sqrt{7} - \sqrt{28}) : (2\sqrt{7})$

Сначала упростим выражения с корнями в первых скобках, вынеся множители из-под знака корня так, чтобы под корнем осталось число 7:

$\sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = 3\sqrt{7}$

$\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$

Подставим упрощенные значения в выражение:

$(3\sqrt{7} + 5\sqrt{7} - 2\sqrt{7}) : (2\sqrt{7})$

Выполним действия с подобными членами в первых скобках:

$(3 + 5 - 2)\sqrt{7} = 6\sqrt{7}$

Теперь выполним деление:

$(6\sqrt{7}) : (2\sqrt{7}) = \frac{6\sqrt{7}}{2\sqrt{7}}$

Сократим коэффициенты и корни:

$\frac{6}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = 3 \cdot 1 = 3$

Ответ: 3