Номер 1.247, страница 62 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.247. Внесите множитель под знак корня:

а) $n\sqrt{5}$, если $n \ge 0$;

б) $m\sqrt{3}$, если $m < 0$;

в) $x\sqrt{x}$;

г) $(a-b)\cdot\sqrt{b-a}$.

а) Для того чтобы внести множитель под знак корня, его необходимо возвести в степень, равную показателю корня (в данном случае в квадрат), и умножить на подкоренное выражение. Так как по условию $n \ge 0$, множитель является неотрицательным, и знак перед корнем не меняется.
$n\sqrt{5} = \sqrt{n^2 \cdot 5} = \sqrt{5n^2}$.
Ответ: $\sqrt{5n^2}$.

б) По условию $m < 0$, то есть множитель $m$ является отрицательным. Чтобы внести отрицательный множитель под знак корня, необходимо поставить знак минус перед корнем, а под корень внести модуль этого множителя, возведенный в квадрат.
$m\sqrt{3} = -|m|\sqrt{3} = -\sqrt{m^2 \cdot 3} = -\sqrt{3m^2}$.
Можно рассуждать иначе: $m = -(-m)$. Так как $m < 0$, то $-m > 0$. Вносим положительный множитель $(-m)$ под корень:
$m\sqrt{3} = -(-m)\sqrt{3} = -\sqrt{(-m)^2 \cdot 3} = -\sqrt{m^2 \cdot 3} = -\sqrt{3m^2}$.
Ответ: $-\sqrt{3m^2}$.

в) Выражение $\sqrt{x}$ определено при $x \ge 0$. Это означает, что множитель $x$ перед корнем является неотрицательным. Следовательно, его можно внести под знак корня, возведя в квадрат.
$x\sqrt{x} = \sqrt{x^2 \cdot x} = \sqrt{x^3}$.
Ответ: $\sqrt{x^3}$.

г) Выражение $\sqrt{b-a}$ определено при условии $b-a \ge 0$, то есть $b \ge a$.
При этом условии множитель $(a-b)$ является неположительным, так как $a-b = -(b-a)$ и $b-a \ge 0$.
Так как множитель $(a-b)$ неположительный, при внесении его под знак корня мы должны поставить знак минус перед корнем, а под корень внести его модуль, возведенный в квадрат: $|a-b| = b-a$.
$(a-b)\sqrt{b-a} = -|a-b|\sqrt{b-a} = -(b-a)\sqrt{b-a} = -\sqrt{(b-a)^2 \cdot (b-a)} = -\sqrt{(b-a)^3}$.
Ответ: $-\sqrt{(b-a)^3}$.