Номер 1.242, страница 62 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.242. Вынесите множитель за знак корня:

a) $\sqrt{36a^2b}$, если $a > 0$;

б) $\sqrt{32m^6n^7}$, если $m \le 0$;

в) $\sqrt{1,21x^5y^7}$, если $x < 0, y < 0$.

а) Чтобы вынести множитель за знак корня в выражении $\sqrt{36a^2b}$ при условии $a > 0$, выполним следующие шаги:

1. Представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, из которых легко извлечь квадратный корень.
   $36 = 6^2$
   $a^2$ уже является полным квадратом.
   Следовательно, $\sqrt{36a^2b} = \sqrt{6^2 \cdot a^2 \cdot b}$.
2. Воспользуемся свойством корня из произведения: $\sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$ (для $x \ge 0, y \ge 0$).
   $\sqrt{6^2 \cdot a^2 \cdot b} = \sqrt{6^2} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b}$.
3. Извлечем корни, используя основное свойство арифметического квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$.
   $\sqrt{6^2} = 6$
   $\sqrt{a^2} = |a|$
   Выражение принимает вид: $6|a|\sqrt{b}$.
4. Применим заданное условие $a > 0$. Для положительных чисел модуль числа равен самому числу: $|a| = a$.
   Подставляя это в наше выражение, получаем $6a\sqrt{b}$.

Заметим, что для существования исходного выражения подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $36a^2b \ge 0$. Поскольку $36 > 0$ и $a^2 \ge 0$, это условие выполняется при $b \ge 0$.

Ответ: $6a\sqrt{b}$.

б) Чтобы вынести множитель за знак корня в выражении $\sqrt{32m^6n^7}$ при условии $m \le 0$, выполним следующие шаги:

1. Разложим подкоренное выражение на множители, выделив полные квадраты.
   $32 = 16 \cdot 2 = 4^2 \cdot 2$
   $m^6 = (m^3)^2$
   $n^7 = n^6 \cdot n = (n^3)^2 \cdot n$
   Таким образом, $\sqrt{32m^6n^7} = \sqrt{16 \cdot m^6 \cdot n^6 \cdot 2n} = \sqrt{4^2 \cdot (m^3)^2 \cdot (n^3)^2 \cdot 2n}$.
2. Вынесем множители, являющиеся полными квадратами, из-под знака корня.
   $\sqrt{4^2 \cdot (m^3)^2 \cdot (n^3)^2 \cdot 2n} = \sqrt{4^2} \cdot \sqrt{(m^3)^2} \cdot \sqrt{(n^3)^2} \cdot \sqrt{2n}$.
3. Используем правило $\sqrt{x^2} = |x|$.
   $4 \cdot |m^3| \cdot |n^3| \cdot \sqrt{2n} = 4|m^3||n^3|\sqrt{2n}$.
4. Раскроем модули с учетом условий.
   Для существования корня подкоренное выражение $32m^6n^7$ должно быть неотрицательным. Так как $32 > 0$ и $m^6 \ge 0$ (как четная степень), то $n^7 \ge 0$, что означает $n \ge 0$.
   По условию $m \le 0$, следовательно, $m^3 \le 0$, и $|m^3| = -m^3$.
   Поскольку $n \ge 0$, то $n^3 \ge 0$, и $|n^3| = n^3$.
5. Подставим полученные выражения для модулей.
   $4(-m^3)(n^3)\sqrt{2n} = -4m^3n^3\sqrt{2n}$.

Ответ: $-4m^3n^3\sqrt{2n}$.

в) Чтобы вынести множитель за знак корня в выражении $\sqrt{1.21x^5y^7}$ при условии $x < 0, y < 0$, выполним следующие шаги:

1. Проверим область определения. При $x < 0$ и $y < 0$ степени $x^5$ и $y^7$ также отрицательны. Их произведение $x^5y^7$ будет положительным, поэтому подкоренное выражение $1.21x^5y^7$ положительно, и корень определен.
2. Разложим подкоренное выражение на множители, выделив полные квадраты.
   $1.21 = 1.1^2$
   $x^5 = x^4 \cdot x = (x^2)^2 \cdot x$
   $y^7 = y^6 \cdot y = (y^3)^2 \cdot y$
   Выражение под корнем: $1.1^2 \cdot (x^2)^2 \cdot (y^3)^2 \cdot xy$.
3. Вынесем множители из-под знака корня.
   $\sqrt{1.1^2 \cdot (x^2)^2 \cdot (y^3)^2 \cdot xy} = \sqrt{1.1^2} \cdot \sqrt{(x^2)^2} \cdot \sqrt{(y^3)^2} \cdot \sqrt{xy}$.
4. Применим свойство $\sqrt{a^2} = |a|$.
   $1.1 \cdot |x^2| \cdot |y^3| \cdot \sqrt{xy}$.
5. Раскроем модули с учетом заданных условий.
   Выражение $x^2$ всегда неотрицательно, поэтому $|x^2| = x^2$.
   По условию $y < 0$, значит $y^3 < 0$, и поэтому $|y^3| = -y^3$.
   Оставшееся подкоренное выражение $\sqrt{xy}$ корректно, так как произведение двух отрицательных чисел $x$ и $y$ положительно.
6. Подставим раскрытые модули в итоговое выражение.
   $1.1 \cdot x^2 \cdot (-y^3) \cdot \sqrt{xy} = -1.1x^2y^3\sqrt{xy}$.
7. Представим десятичный коэффициент в виде смешанного числа, выделив целую часть из неправильной дроби.
   $-1.1 = -\frac{11}{10} = -1\frac{1}{10}$.

Ответ: $-1\frac{1}{10}x^2y^3\sqrt{xy}$.