Номер 1.235, страница 61 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.235. Найдите значение выражения $\sqrt{6} + \sqrt{5} - \frac{1}{\sqrt{11-2\sqrt{30}}}$.

Для решения данной задачи необходимо упростить каждый член выражения по отдельности.

Исходное выражение: $ \sqrt{6 + \sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{11 - 2\sqrt{30}}} $

1. Упростим второй член выражения: $ \frac{1}{\sqrt{11 - 2\sqrt{30}}} $

Для начала преобразуем подкоренное выражение в знаменателе, используя формулу квадрата разности $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $.

Представим число 11 в виде суммы двух чисел, произведение которых равно 30. Такими числами являются 6 и 5, так как $ 6+5=11 $ и $ 6 \times 5 = 30 $.

$ 11 - 2\sqrt{30} = (6 + 5) - 2\sqrt{6 \cdot 5} = (\sqrt{6})^2 - 2\sqrt{6}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = (\sqrt{6} - \sqrt{5})^2 $

Теперь извлечем квадратный корень:

$ \sqrt{11 - 2\sqrt{30}} = \sqrt{(\sqrt{6} - \sqrt{5})^2} = |\sqrt{6} - \sqrt{5}| $

Поскольку $ \sqrt{6} > \sqrt{5} $, то $ \sqrt{6} - \sqrt{5} > 0 $, и модуль можно опустить:

$ \sqrt{11 - 2\sqrt{30}} = \sqrt{6} - \sqrt{5} $

Теперь подставим это в знаменатель дроби и избавимся от иррациональности, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ (\sqrt{6} + \sqrt{5}) $:

$ \frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{5}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{6} + \sqrt{5})}{(\sqrt{6} - \sqrt{5})(\sqrt{6} + \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{5}}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{5}}{6-5} = \sqrt{6} + \sqrt{5} $

2. Проанализируем всё выражение

Подставим упрощенный второй член в исходное выражение:

$ \sqrt{6 + \sqrt{5}} - (\sqrt{6} + \sqrt{5}) $

Первый член $ \sqrt{6 + \sqrt{5}} $ не может быть упрощен к виду, который позволил бы дальнейшие сокращения. Это говорит о высокой вероятности опечатки в условии задачи, так как подобные задания обычно приводят к простому рациональному ответу.

Наиболее вероятная опечатка заключается в первом члене. Если предположить, что он должен быть $ \sqrt{11 + 2\sqrt{30}} $ (используя те же числа, что и во втором члене), то задача получает логичное решение.

3. Решим исправленное выражение: $ \sqrt{11 + 2\sqrt{30}} - \frac{1}{\sqrt{11 - 2\sqrt{30}}} $

Упростим первый член $ \sqrt{11 + 2\sqrt{30}} $ по аналогии со вторым, используя формулу квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $:

$ 11 + 2\sqrt{30} = (6 + 5) + 2\sqrt{6 \cdot 5} = (\sqrt{6})^2 + 2\sqrt{6}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = (\sqrt{6} + \sqrt{5})^2 $

$ \sqrt{11 + 2\sqrt{30}} = \sqrt{(\sqrt{6} + \sqrt{5})^2} = \sqrt{6} + \sqrt{5} $

Теперь подставим упрощенные части в исправленное выражение:

$ (\sqrt{6} + \sqrt{5}) - (\sqrt{6} + \sqrt{5}) = \sqrt{6} + \sqrt{5} - \sqrt{6} - \sqrt{5} = 0 $

Ответ: 0