Номер 1.231, страница 61 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.231. Докажите, что значение выражения $\sqrt{9-4\sqrt{2}} + \sqrt{17-12\sqrt{2}}$ является целым числом.

Для доказательства того, что значение выражения является целым числом, необходимо упростить его. Мы будем использовать формулу для квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, чтобы избавиться от внешних корней.

1. Упрощение слагаемого $\sqrt{9-4\sqrt{2}}$

Представим подкоренное выражение $9-4\sqrt{2}$ в виде $(a-b)^2$. Для этого необходимо, чтобы выполнялись равенства $a^2+b^2=9$ и $2ab=4\sqrt{2}$. Из второго равенства $ab=2\sqrt{2}$. Подбором находим, что $a=2\sqrt{2}$ и $b=1$ удовлетворяют первому равенству: $(2\sqrt{2})^2+1^2 = 8+1=9$. Следовательно, $9-4\sqrt{2} = (2\sqrt{2}-1)^2$. Тогда $\sqrt{9-4\sqrt{2}} = \sqrt{(2\sqrt{2}-1)^2} = |2\sqrt{2}-1|$. Поскольку $2\sqrt{2} = \sqrt{8} > 1$, значение выражения под модулем положительно, поэтому $|2\sqrt{2}-1| = 2\sqrt{2}-1$.

2. Упрощение слагаемого $\sqrt{17-12\sqrt{2}}$

Аналогично представим $17-12\sqrt{2}$ в виде $(a-b)^2$. Необходимо, чтобы $a^2+b^2=17$ и $2ab=12\sqrt{2}$. Из второго равенства $ab=6\sqrt{2}$. Подбором находим, что $a=3$ и $b=2\sqrt{2}$ удовлетворяют первому равенству: $3^2+(2\sqrt{2})^2 = 9+8=17$. Следовательно, $17-12\sqrt{2} = (3-2\sqrt{2})^2$. Тогда $\sqrt{17-12\sqrt{2}} = \sqrt{(3-2\sqrt{2})^2} = |3-2\sqrt{2}|$. Поскольку $3=\sqrt{9}$ и $2\sqrt{2}=\sqrt{8}$, то $3>2\sqrt{2}$, и значение выражения под модулем положительно, поэтому $|3-2\sqrt{2}| = 3-2\sqrt{2}$.

3. Вычисление итогового значения

Сложим полученные результаты: $(2\sqrt{2}-1) + (3-2\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}-1+3-2\sqrt{2} = 2$. Значение выражения равно 2, что является целым числом. Утверждение доказано.

Ответ: 2