Номер 1.227, страница 60 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.227. Докажите, что значение выражения является целым числом:

a) $\sqrt{(9-4\sqrt{3})^2} + \sqrt{(5-4\sqrt{3})^2};$

б) $\sqrt{(3-6\sqrt{5})^2} + \sqrt{(19-6\sqrt{5})^2}.$

а) Чтобы доказать, что значение выражения является целым числом, мы воспользуемся свойством арифметического квадратного корня, которое гласит: $\sqrt{a^2} = |a|$ (квадратный корень из квадрата числа равен модулю этого числа).
Исходное выражение: $\sqrt{(9 - 4\sqrt{3})^2} + \sqrt{(5 - 4\sqrt{3})^2}$.
Применив свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, мы получаем:
$|9 - 4\sqrt{3}| + |5 - 4\sqrt{3}|$.
Далее необходимо раскрыть модули. для этого определим знак каждого выражения в скобках.
1. Сравним $9$ и $4\sqrt{3}$. Чтобы сравнить их, возведем оба числа в квадрат:
$9^2 = 81$
$(4\sqrt{3})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$
Поскольку $81 > 48$, то $9 > 4\sqrt{3}$. Значит, выражение $(9 - 4\sqrt{3})$ положительно, и его модуль равен самому выражению: $|9 - 4\sqrt{3}| = 9 - 4\sqrt{3}$.
2. Сравним $5$ и $4\sqrt{3}$. Возведем оба числа в квадрат:
$5^2 = 25$
$(4\sqrt{3})^2 = 48$
Поскольку $25 < 48$, то $5 < 4\sqrt{3}$. Значит, выражение $(5 - 4\sqrt{3})$ отрицательно, и его модуль равен противоположному выражению: $|5 - 4\sqrt{3}| = -(5 - 4\sqrt{3}) = 4\sqrt{3} - 5$.
Теперь подставим раскрытые модули в исходное выражение:
$(9 - 4\sqrt{3}) + (4\sqrt{3} - 5) = 9 - 4\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 5 = 9 - 5 = 4$.
Результат равен 4, что является целым числом.
Ответ: 4

б) Аналогично предыдущему пункту, используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$.
Исходное выражение: $\sqrt{(3 - 6\sqrt{5})^2} + \sqrt{(19 - 6\sqrt{5})^2}$.
Применяя свойство, получаем:
$|3 - 6\sqrt{5}| + |19 - 6\sqrt{5}|$.
Определим знаки выражений под модулем.
1. Сравним $3$ и $6\sqrt{5}$. Возведем оба числа в квадрат:
$3^2 = 9$
$(6\sqrt{5})^2 = 6^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 36 \cdot 5 = 180$
Поскольку $9 < 180$, то $3 < 6\sqrt{5}$. Значит, выражение $(3 - 6\sqrt{5})$ отрицательно, и его модуль равен: $|3 - 6\sqrt{5}| = -(3 - 6\sqrt{5}) = 6\sqrt{5} - 3$.
2. Сравним $19$ и $6\sqrt{5}$. Возведем оба числа в квадрат:
$19^2 = 361$
$(6\sqrt{5})^2 = 180$
Поскольку $361 > 180$, то $19 > 6\sqrt{5}$. Значит, выражение $(19 - 6\sqrt{5})$ положительно, и его модуль равен: $|19 - 6\sqrt{5}| = 19 - 6\sqrt{5}$.
Подставим раскрытые модули в выражение:
$(6\sqrt{5} - 3) + (19 - 6\sqrt{5}) = 6\sqrt{5} - 3 + 19 - 6\sqrt{5} = 19 - 3 = 16$.
Результат равен 16, что является целым числом.
Ответ: 16