Номер 1.221, страница 59 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.221. Докажите, что значение выражения $\left(\frac{18}{\sqrt{7}+1} + \frac{6}{\sqrt{7}-2} - \frac{8}{3-\sqrt{7}}\right)(\sqrt{7}+11)$ является целым числом.

Для доказательства того, что значение выражения является целым числом, необходимо его вычислить. Выполним вычисления по шагам.

Шаг 1. Упростим выражение в первых скобках: $\left(\frac{18}{\sqrt{7}+1} + \frac{6}{\sqrt{7}-2} - \frac{8}{3-\sqrt{7}}\right)$

Для этого избавимся от иррациональности в знаменателе каждой дроби, умножив её числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение.

• Для первой дроби сопряженное выражение равно $(\sqrt{7}-1)$:
  $$ \frac{18}{\sqrt{7}+1} = \frac{18(\sqrt{7}-1)}{(\sqrt{7}+1)(\sqrt{7}-1)} = \frac{18(\sqrt{7}-1)}{(\sqrt{7})^2 - 1^2} = \frac{18(\sqrt{7}-1)}{7-1} = \frac{18(\sqrt{7}-1)}{6} = 3(\sqrt{7}-1) = 3\sqrt{7}-3 $$
• Для второй дроби сопряженное выражение равно $(\sqrt{7}+2)$:
  $$ \frac{6}{\sqrt{7}-2} = \frac{6(\sqrt{7}+2)}{(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)} = \frac{6(\sqrt{7}+2)}{(\sqrt{7})^2 - 2^2} = \frac{6(\sqrt{7}+2)}{7-4} = \frac{6(\sqrt{7}+2)}{3} = 2(\sqrt{7}+2) = 2\sqrt{7}+4 $$
• Для третьей дроби сопряженное выражение равно $(3+\sqrt{7})$:
  $$ \frac{8}{3-\sqrt{7}} = \frac{8(3+\sqrt{7})}{(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})} = \frac{8(3+\sqrt{7})}{3^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{8(3+\sqrt{7})}{9-7} = \frac{8(3+\sqrt{7})}{2} = 4(3+\sqrt{7}) = 12+4\sqrt{7} $$

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в скобки и приведем подобные слагаемые:

Шаг 2. Выполним умножение и завершим доказательство.

Умножим результат, полученный на первом шаге, $(\sqrt{7}-11)$, на вторую скобку $(\sqrt{7}+11)$. Воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

Доказательство. Значение исходного выражения равно -114. Так как число -114 является целым, утверждение доказано. Ответ: -114