Номер 1.217, страница 59 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.217. Упростите выражение:

а) $\sqrt{7} + \frac{21}{\sqrt{7}} ;$

б) $\frac{18}{\sqrt{3}} - 5\sqrt{3} ;$

в) $(\frac{6}{\sqrt{2}} + \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} ;$

г) $(\frac{2}{\sqrt{18}} - \sqrt{2}) : \frac{\sqrt{2}}{3} .$

а) Для упрощения выражения $\sqrt{7} + \frac{21}{\sqrt{7}}$ необходимо избавиться от иррациональности в знаменателе второго слагаемого. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{7}$:

$\frac{21}{\sqrt{7}} = \frac{21 \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{21\sqrt{7}}{7} = 3\sqrt{7}$

Теперь подставим полученное значение обратно в исходное выражение и выполним сложение:

$\sqrt{7} + 3\sqrt{7} = (1+3)\sqrt{7} = 4\sqrt{7}$

Ответ: $4\sqrt{7}$

б) В выражении $\frac{18}{\sqrt{3}} - 5\sqrt{3}$ также начнем с избавления от иррациональности в знаменателе первого члена:

$\frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$

Теперь выполним вычитание:

$6\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = (6-5)\sqrt{3} = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$

в) В выражении $(\frac{6}{\sqrt{2}} + \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}$ воспользуемся распределительным свойством умножения. Умножим каждый член в скобках на $\sqrt{2}$:

$(\frac{6}{\sqrt{2}} + \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = \frac{6}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$

Упростим каждое слагаемое:

$\frac{6 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 6$

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$

Сложим полученные результаты:

$6 + 2 = 8$

Ответ: $8$

г) Для упрощения выражения $(\frac{2}{\sqrt{18}} - \sqrt{2}) : \frac{\sqrt{2}}{3}$ начнем с упрощения выражения в скобках. Сначала упростим корень $\sqrt{18}$:

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$

Теперь упростим первый член в скобках, избавившись от иррациональности:

$\frac{2}{\sqrt{18}} = \frac{2}{3\sqrt{2}} = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{3}$

Теперь выражение в скобках принимает вид:

$\frac{\sqrt{2}}{3} - \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{3\sqrt{2}}{3} = \frac{\sqrt{2} - 3\sqrt{2}}{3} = \frac{-2\sqrt{2}}{3}$

Выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$\frac{-2\sqrt{2}}{3} : \frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{-2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2}} = -2$

Ответ: $-2$