Номер 1.358, страница 89 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.358. Решите двойное неравенство двумя способами:

а) $2,1 < 0,7x + 3,5 < 4,2$;

б) $-143,4 \le 0,6 + 6x < 19,2$;

в) $-2,7 < 2 - 0,1x \le 3,84$.

а) $2,1 < 0,7x + 3,5 < 4,2$

Способ 1: Решение двойного неравенства как единого целого

1. Вычтем 3,5 из всех трех частей неравенства, чтобы выделить слагаемое с $x$ в средней части.

$2,1 - 3,5 < 0,7x + 3,5 - 3,5 < 4,2 - 3,5$

$-1,4 < 0,7x < 0,7$

2. Разделим все части неравенства на 0,7. Так как 0,7 — положительное число, знаки неравенства не меняются.

$\frac{-1,4}{0,7} < \frac{0,7x}{0,7} < \frac{0,7}{0,7}$

$-2 < x < 1$

Решением является интервал $(-2; 1)$.

Способ 2: Решение в виде системы неравенств

1. Исходное двойное неравенство можно представить в виде системы двух линейных неравенств:

$\begin{cases} 2,1 < 0,7x + 3,5 \\ 0,7x + 3,5 < 4,2 \end{cases}$

2. Решим первое неравенство:

$2,1 < 0,7x + 3,5$

$2,1 - 3,5 < 0,7x$

$-1,4 < 0,7x$

$\frac{-1,4}{0,7} < x$

$-2 < x$

3. Решим второе неравенство:

$0,7x + 3,5 < 4,2$

$0,7x < 4,2 - 3,5$

$0,7x < 0,7$

$x < \frac{0,7}{0,7}$

$x < 1$

4. Решением системы является пересечение решений обоих неравенств: $x > -2$ и $x < 1$.

$-2 < x < 1$

Ответ: $-2 < x < 1$.

б) $-143,4 \le 0,6 + 6x < 19,2$

Способ 1: Решение двойного неравенства как единого целого

1. Вычтем 0,6 из всех трех частей неравенства.

$-143,4 - 0,6 \le 0,6 + 6x - 0,6 < 19,2 - 0,6$

$-144 \le 6x < 18,6$

2. Разделим все части на 6. Так как 6 > 0, знаки неравенства сохраняются.

$\frac{-144}{6} \le \frac{6x}{6} < \frac{18,6}{6}$

$-24 \le x < 3,1$

3. Представим десятичную дробь $3,1$ в виде смешанного числа. $3,1 = \frac{31}{10} = 3\frac{1}{10}$.

Таким образом, решением является полуинтервал $[-24; 3\frac{1}{10})$.

Способ 2: Решение в виде системы неравенств

1. Представим двойное неравенство в виде системы:

$\begin{cases} -143,4 \le 0,6 + 6x \\ 0,6 + 6x < 19,2 \end{cases}$

2. Решим первое неравенство:

$-143,4 - 0,6 \le 6x$

$-144 \le 6x$

$\frac{-144}{6} \le x$

$-24 \le x$

3. Решим второе неравенство:

$6x < 19,2 - 0,6$

$6x < 18,6$

$x < \frac{18,6}{6}$

$x < 3,1$

4. Пересечение решений $x \ge -24$ и $x < 3,1$ дает нам итоговый интервал. Преобразуем $3,1$ в смешанное число $3\frac{1}{10}$.

$-24 \le x < 3\frac{1}{10}$

Ответ: $-24 \le x < \mathbf{3}\frac{1}{10}$.

в) $-2,7 < 2 - 0,1x \le 3,84$

Способ 1: Решение двойного неравенства как единого целого

1. Вычтем 2 из всех трех частей неравенства.

$-2,7 - 2 < 2 - 0,1x - 2 \le 3,84 - 2$

$-4,7 < -0,1x \le 1,84$

2. Разделим все части на -0,1. Так как мы делим на отрицательное число, знаки неравенства меняются на противоположные.

$\frac{-4,7}{-0,1} > \frac{-0,1x}{-0,1} \ge \frac{1,84}{-0,1}$

$47 > x \ge -18,4$

3. Запишем неравенство в привычном порядке (от меньшего к большему).

$-18,4 \le x < 47$

4. Представим десятичную дробь $-18,4$ в виде смешанного числа. $-18,4 = -\frac{184}{10} = -\frac{92}{5} = -18\frac{2}{5}$.

Таким образом, решением является полуинтервал $[-18\frac{2}{5}; 47)$.

Способ 2: Решение в виде системы неравенств

1. Представим двойное неравенство в виде системы:

$\begin{cases} -2,7 < 2 - 0,1x \\ 2 - 0,1x \le 3,84 \end{cases}$

2. Решим первое неравенство:

$-2,7 - 2 < -0,1x$

$-4,7 < -0,1x$

Разделим на -0,1 и изменим знак неравенства:

$\frac{-4,7}{-0,1} > x$

$47 > x$ или $x < 47$

3. Решим второе неравенство:

$-0,1x \le 3,84 - 2$

$-0,1x \le 1,84$

Разделим на -0,1 и изменим знак неравенства:

$x \ge \frac{1,84}{-0,1}$

$x \ge -18,4$

4. Пересечение решений $x < 47$ и $x \ge -18,4$ дает итоговый интервал. Преобразуем $-18,4$ в смешанное число $-18\frac{2}{5}$.

$-18\frac{2}{5} \le x < 47$

Ответ: $-\mathbf{18}\frac{2}{5} \le x < 47$.