Номер 1.4, страница 14 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.4. Из выражений $\frac{5x}{7y^2}$; $\frac{2a^3}{5} - \frac{b}{4}$; $12 + \frac{m}{n}$; $\frac{2}{9x-7}$; $\frac{y-3}{y+3}$; $2,4a^5b^6$; $5\sqrt{ab}$; $\frac{c^4 + 2c + 3}{c}$; $\frac{x^2 - xy}{6}$; $\frac{5}{7}$ выберите:

а) целые рациональные выражения;

б) дробные рациональные выражения;

в) рациональные дроби.

Для выполнения данного задания необходимо классифицировать представленные выражения. В первую очередь, важно отметить, что выражение $5\sqrt{ab}$ является иррациональным, так как содержит операцию извлечения квадратного корня из переменных. Поэтому оно не относится ни к одной из категорий рациональных выражений и будет исключено из дальнейшего анализа.

Остальные выражения распределим по категориям.

Целые рациональные выражения — это выражения, которые не содержат операции деления на переменную. Из предложенного списка к этой категории относятся:

• $\frac{2a^3}{5} - \frac{b}{4}$
• $2,4a^5b^6$
• $\frac{x^2 - xy}{6}$
• $\frac{5}{7}$

Дробные рациональные выражения — это выражения, которые содержат операцию деления на переменную. Для неправильных алгебраических дробей (тех, у которых степень многочлена в числителе больше или равна степени многочлена в знаменателе) требуется выделить целую часть:

• $\frac{5x}{7y^2}$ (это правильная дробь, так как степень числителя (1) меньше степени знаменателя (2))
• $12 + \frac{m}{n}$ (здесь целая часть уже выделена и равна 12)
• $\frac{2}{9x-7}$ (это правильная дробь)
• $\frac{y-3}{y+3}$. Это неправильная дробь. Выделим целую часть: $\frac{y-3}{y+3} = \frac{(y+3)-6}{y+3} = \frac{y+3}{y+3} - \frac{6}{y+3} = \boldsymbol{1} - \frac{6}{y+3}$.
• $\frac{c^4 + 2c + 3}{c}$. Это неправильная дробь. Выделим целую часть путем деления почленно: $\frac{c^4}{c} + \frac{2c}{c} + \frac{3}{c} = \boldsymbol{c^3 + 2} + \frac{3}{c}$.

Рациональная дробь — это выражение, представленное в виде отношения двух многочленов $\frac{P}{Q}$. Все выражения из пункта (б) являются рациональными дробями (некоторые после приведения к общему знаменателю). Выделим целые части, как и в предыдущем пункте:

• $\frac{5x}{7y^2}$
• $12 + \frac{m}{n}$, что можно записать как $\frac{12n+m}{n}$. Целая часть: 12.
• $\frac{2}{9x-7}$
• $\frac{y-3}{y+3}$. Целая часть: 1.
• $\frac{c^4 + 2c + 3}{c}$. Целая часть: $c^3 + 2$.