Номер 31, страница 9 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

31. Постройте график функции $y=x^2-6x+8$.

Для построения графика функции $y = x^2 - 6x + 8$ необходимо выполнить последовательность действий по анализу квадратичной функции.

1. Определение направления ветвей параболы.

   Функция $y = x^2 - 6x + 8$ является квадратичной вида $y = ax^2 + bx + c$. Графиком такой функции является парабола. В данном случае коэффициент $a = 1$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Нахождение координат вершины параболы.

   Координаты вершины $(x_0, y_0)$ находятся по формулам:

   $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

   Для нахождения $y_0$ подставим значение $x_0$ в уравнение функции:

   $y_0 = (3)^2 - 6 \cdot 3 + 8 = 9 - 18 + 8 = -1$

   Ответ: вершина параболы находится в точке с координатами $(3; -1)$.

3. Нахождение точек пересечения с осями координат.

   Для нахождения точки пересечения с осью ординат (Oy), подставляем $x=0$ в уравнение:

   $y = 0^2 - 6 \cdot 0 + 8 = 8$

   Точка пересечения с осью Oy: $(0; 8)$.

   Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс (Ox), которые также называют нулями функции, подставляем $y=0$ в уравнение:

   $x^2 - 6x + 8 = 0$

   Это квадратное уравнение можно решить по теореме Виета:

   Сумма корней: $x_1 + x_2 = 6$

   Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 8$

   Отсюда находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

   Ответ: точки пересечения с осями координат: с осью Oy в точке $(0; 8)$, с осью Ox в точках $(2; 0)$ и $(4; 0)$.

4. Составление таблицы значений и построение графика.

   Осью симметрии параболы является прямая $x = 3$. Используя эту ось, можно найти симметричные точки для более точного построения. Например, точка $(1; 3)$ симметрична точке $(5; 3)$, а точка $(0; 8)$ симметрична точке $(6; 8)$.

   Составим таблицу ключевых точек:

   $x$	$y = x^2 - 6x + 8$
   0	8
   1	3
   2	0
   3	-1 (вершина)
   4	0
   5	3
   6	8

   Отметим найденные точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией.