Номер 27, страница 8 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

27. Постройте график функции, заданной формулой:

а) $y = x^2 - 4x + 3;$

б) $y = -x^2 + 2x + 8;$

в) $y = (x - 3)^2 - 4;$

г) $y = -(x - 3)(x - 5).$

а) $y = x^2 - 4x + 3$

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Для её построения найдём ключевые характеристики.

1. Направление ветвей.
   Функция имеет вид $y = ax^2 + bx + c$, где $a=1$, $b=-4$, $c=3$. Так как коэффициент $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Координаты вершины.
   Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.
   $x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.
   Ордината вершины находится подстановкой $x_v$ в уравнение функции:
   $y_v = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.
   Координаты вершины параболы: $(2, -1)$.
3. Точки пересечения с осями координат.
   • С осью ординат (Oy): для этого нужно найти значение функции при $x=0$.
     $y(0) = 0^2 - 4(0) + 3 = 3$.
     Точка пересечения с осью Oy: $(0, 3)$.
   • С осью абсцисс (Ox): для этого нужно найти корни уравнения $y=0$.
     $x^2 - 4x + 3 = 0$.
     По теореме Виета, сумма корней $x_1+x_2 = 4$ и произведение $x_1 \cdot x_2 = 3$. Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.
     Точки пересечения с осью Ox: $(1, 0)$ и $(3, 0)$.
4. Построение графика.
   Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая $x = 2$. Отмечаем на координатной плоскости вершину $(2, -1)$ и точки пересечения с осями $(0, 3)$, $(1, 0)$, $(3, 0)$. Для большей точности можно найти симметричную точку для $(0, 3)$ относительно оси симметрии $x=2$. Её абсцисса будет $x = 4$. Получаем точку $(4, 3)$. Соединив эти точки плавной линией, получаем график параболы.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(2, -1)$, ветвями вверх, пересекающая ось Oy в точке $(0, 3)$ и ось Ox в точках $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

б) $y = -x^2 + 2x + 8$

Это квадратичная функция, её график — парабола. Для её построения найдём ключевые характеристики.

1. Направление ветвей.
   Функция имеет вид $y = ax^2 + bx + c$, где $a=-1$, $b=2$, $c=8$. Так как коэффициент $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
2. Координаты вершины.
   Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = -\frac{2}{-2} = 1$.
   Ордината вершины: $y_v = -(1)^2 + 2(1) + 8 = -1 + 2 + 8 = 9$.
   Координаты вершины параболы: $(1, 9)$.
3. Точки пересечения с осями координат.
   • С осью Oy ($x=0$):
     $y(0) = -0^2 + 2(0) + 8 = 8$.
     Точка пересечения: $(0, 8)$.
   • С осью Ox ($y=0$):
     $-x^2 + 2x + 8 = 0 \implies x^2 - 2x - 8 = 0$.
     По теореме Виета, $x_1+x_2 = 2$ и $x_1 \cdot x_2 = -8$. Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.
     Точки пересечения: $(-2, 0)$ и $(4, 0)$.
4. Построение графика.
   Ось симметрии параболы — $x = 1$. Отмечаем вершину $(1, 9)$, точки пересечения с осями $(-2, 0)$, $(4, 0)$ и $(0, 8)$. Симметричная точке $(0, 8)$ точка — $(2, 8)$. Соединяем точки плавной линией.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(1, 9)$, ветвями вниз, пересекающая ось Oy в точке $(0, 8)$ и ось Ox в точках $(-2, 0)$ и $(4, 0)$.

в) $y = (x-3)^2 - 4$

Функция задана в виде $y = a(x-h)^2 + k$, что удобно для нахождения вершины.

1. Направление ветвей.
   Раскрыв скобки, получим $y = x^2 - 6x + 9 - 4 = x^2 - 6x + 5$. Коэффициент $a=1 > 0$, значит, ветви параболы направлены вверх.
2. Координаты вершины.
   Из формулы $y = (x-3)^2 - 4$ видно, что вершина находится в точке $(h, k)$, то есть $(3, -4)$.
3. Точки пересечения с осями координат.
   • С осью Oy ($x=0$):
     $y(0) = (0-3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5$.
     Точка пересечения: $(0, 5)$.
   • С осью Ox ($y=0$):
     $(x-3)^2 - 4 = 0 \implies (x-3)^2 = 4 \implies x-3 = \pm 2$.
     $x_1 = 3 - 2 = 1$.
     $x_2 = 3 + 2 = 5$.
     Точки пересечения: $(1, 0)$ и $(5, 0)$.
4. Построение графика.
   Ось симметрии — $x = 3$. Отмечаем вершину $(3, -4)$, точки пересечения с осями $(1, 0)$, $(5, 0)$ и $(0, 5)$. Симметричная точке $(0, 5)$ точка — $(6, 5)$. Соединяем точки плавной кривой.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(3, -4)$, ветвями вверх, пересекающая ось Oy в точке $(0, 5)$ и ось Ox в точках $(1, 0)$ и $(5, 0)$.

г) $y = -(x-3)(x-5)$

Функция задана в виде $y = a(x-x_1)(x-x_2)$, что удобно для нахождения корней.

1. Направление ветвей.
   Раскрыв скобки, получим $y = -(x^2 - 5x - 3x + 15) = -x^2 + 8x - 15$. Коэффициент $a=-1 < 0$, значит, ветви параболы направлены вниз.
2. Точки пересечения с осью Ox.
   Из формулы $y = -(x-3)(x-5)$ сразу видны корни уравнения $y=0$: $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$.
   Точки пересечения с осью Ox: $(3, 0)$ и $(5, 0)$.
3. Координаты вершины.
   Абсцисса вершины находится посередине между корнями: $x_v = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{3+5}{2} = 4$.
   Ордината вершины: $y_v = -(4-3)(4-5) = -(1)(-1) = 1$.
   Координаты вершины параболы: $(4, 1)$.
4. Точка пересечения с осью Oy.
   При $x=0$: $y(0) = -(0-3)(0-5) = -(-3)(-5) = -15$.
   Точка пересечения: $(0, -15)$.
5. Построение графика.
   Ось симметрии — $x = 4$. Отмечаем вершину $(4, 1)$, точки пересечения с осью Ox $(3, 0)$ и $(5, 0)$, и точку пересечения с осью Oy $(0, -15)$. Соединяем точки плавной кривой.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(4, 1)$, ветвями вниз, пересекающая ось Ox в точках $(3, 0)$ и $(5, 0)$ и ось Oy в точке $(0, -15)$.